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Wahrscheinlichkeit: Regeln & Verteilungen

102 cards · 🇩🇪 Deutsch

Wahrscheinlichkeitsregeln, Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit und gängige Verteilungen.

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Wahrscheinlichkeit

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  1. 1Wahrscheinlichkeit
    Ein Zahlenmaß zwischen 0 und 1, das angibt, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist
  2. 2Eine Wahrscheinlichkeit von 0
    Das Ereignis ist unmöglich (oder tritt so gut wie sicher nicht ein)
  3. 3Eine Wahrscheinlichkeit von 1
    Das Ereignis ist sicher (oder tritt so gut wie sicher ein)
  4. 4Ergebnisraum
    Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments, oft mit Ω oder S bezeichnet
  5. 5Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
    Eine Teilmenge des Ergebnisraums; eine Sammlung möglicher Ergebnisse
  6. 6Komplement des Ereignisses A
    Das Ereignis „nicht A“, bezeichnet mit A' oder Ā; P(A') = 1 − P(A)
  7. 7Wahrscheinlichkeit, bei einer fairen Münze Kopf zu werfen
    1/2 bzw. 0,5 bzw. 50 % (zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse)
  8. 8Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen sechsseitigen Würfel eine 4 zu würfeln
    1/6 (ein gewünschtes Ergebnis von sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen)
  9. 9Additionsregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
    P(A oder B) = P(A) + P(B), wenn A und B nicht gleichzeitig eintreten können
  10. 10Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
    Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können; P(A und B) = 0
  11. 11Allgemeine Additionsregel für zwei beliebige Ereignisse
    P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B)
  12. 12Warum wird P(A und B) in der allgemeinen Additionsregel subtrahiert?
    Um zu vermeiden, dass Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen, doppelt gezählt werden
  13. 13Unabhängige Ereignisse
    Ereignisse, bei denen das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst
  14. 14Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
    P(A und B) = P(A) × P(B), wenn A und B unabhängig sind
  15. 15Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander Kopf zu werfen
    1/2 × 1/2 = 1/4 (unabhängige Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert)
  16. 16Bedingte Wahrscheinlichkeit
    Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist, bezeichnet mit P(A|B)
  17. 17Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit
    P(A|B) = P(A und B) / P(B), unter der Annahme P(B) > 0
  18. 18Allgemeine Multiplikationsregel
    P(A und B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)
  19. 19Satz von Bayes
    P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B); verknüpft Vorher- und Nachher-Wahrscheinlichkeit
  20. 20Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
    P(B) = Σ P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ), wobei {Aᵢ} eine Zerlegung des Ergebnisraums bildet
  21. 21Ereignisse als erschöpfend (kollektiv erschöpfend)
    Zusammen decken sie alle möglichen Ergebnisse ab (die Vereinigung entspricht dem gesamten Ergebnisraum)
  22. 22Wahrscheinlichkeitsverteilung
    Eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ausprägungen einer Zufallsvariable beschreibt
  23. 23Diskrete Zufallsvariable
    Eine Variable, die eine abzählbare Anzahl unterschiedlicher Werte annehmen kann
  24. 24Stetige Zufallsvariable
    Eine Variable, die jeden Wert in einem stetigen (überabzählbaren) Bereich annehmen kann
  25. 25Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF)
    Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable, gibt P(X = x) an
  26. 26Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)
    Die Funktion, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable beschreibt
  27. 27Erwartungswert (Mittelwert) einer diskreten Zufallsvariable
    E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ), das gewichtete Mittel aller möglichen Werte
  28. 28Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable
    E(X) = ∫ x · f(x) dx, wobei f(x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist
  29. 29Varianz einer Zufallsvariable
    Var(X) = E[(X − μ)²] = E(X²) − [E(X)]², misst die Streuung um den Mittelwert
  30. 30Bernoulli-Verteilung
    Eine diskrete Verteilung mit zwei Ausgängen: Erfolg (p) und Misserfolg (1−p)

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