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Trigonometrische Identitäten & Gleichungen

60 cards · 🇩🇪 Deutsch

Grundlegende trigonometrische Identitäten und das Lösen trigonometrischer Gleichungen.

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Trigonometrische Identität

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  1. 1Trigonometrische Identität
    Eine Gleichheit trigonometrischer Funktionen, die für jeden Wert der Variablen gilt
  2. 2Trigonometrischer Pythagoras (Grundidentität)
    sin²θ + cos²θ = 1
  3. 3Herleitung der pythagoreischen Identität am Einheitskreis
    Auf dem Einheitskreis gilt x² + y² = 1, wobei x = cos θ und y = sin θ, also cos²θ + sin²θ = 1
  4. 4Zweite pythagoreische Identität
    1 + tan²θ = sec²θ
  5. 5Dritte pythagoreische Identität
    1 + cot²θ = csc²θ
  6. 6Herleitung von 1 + tan²θ = sec²θ
    sin²θ + cos²θ = 1 durch cos²θ teilen: (sin²θ/cos²θ) + 1 = 1/cos²θ, also tan²θ + 1 = sec²θ
  7. 7sin²θ ausgedrückt durch cos θ
    sin²θ = 1 − cos²θ
  8. 8cos²θ ausgedrückt durch sin θ
    cos²θ = 1 − sin²θ
  9. 9Kehrwertidentität für Sinus
    csc θ = 1/sin θ
  10. 10Kehrwertidentität für Kosinus
    sec θ = 1/cos θ
  11. 11Kehrwertidentität für Tangens
    cot θ = 1/tan θ
  12. 12Quotientenidentität für Tangens
    tan θ = sin θ / cos θ
  13. 13Quotientenidentität für Kotangens
    cot θ = cos θ / sin θ
  14. 14Gerade/ungerade Eigenschaft des Sinus
    sin(−θ) = −sin θ (Sinus ist eine ungerade Funktion)
  15. 15Gerade/ungerade Eigenschaft des Kosinus
    cos(−θ) = cos θ (Kosinus ist eine gerade Funktion)
  16. 16Gerade/ungerade Eigenschaft des Tangens
    tan(−θ) = −tan θ (Tangens ist eine ungerade Funktion)
  17. 17Komplementärwinkelidentität für Sinus
    sin(π/2 − θ) = cos θ
  18. 18Komplementärwinkelidentität für Kosinus
    cos(π/2 − θ) = sin θ
  19. 19Komplementärwinkelidentität für Tangens
    tan(π/2 − θ) = cot θ
  20. 20Periode von Sinus und Kosinus
    2π (360°) — sin(θ + 2π) = sin θ und cos(θ + 2π) = cos θ
  21. 21Periode von Tangens und Kotangens
    π (180°) — tan(θ + π) = tan θ und cot(θ + π) = cot θ
  22. 22Summenformel für Sinus
    sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  23. 23Summenformel für Kosinus
    cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
  24. 24Summenformel für Tangens
    tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
  25. 25Differenzformel für Sinus
    sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
  26. 26Differenzformel für Kosinus
    cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
  27. 27Differenzformel für Tangens
    tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)
  28. 28Doppelwinkelformel für Sinus
    sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
  29. 29Doppelwinkelformel für Kosinus (erste Form)
    cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
  30. 30Doppelwinkelformel für Kosinus (zweite Form)
    cos(2θ) = 2cos²θ − 1

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