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Loi des sinus et loi des cosinus

39 cards · 🇫🇷 Français

Résoudre des triangles non rectangles avec la loi des sinus et la loi des cosinus.

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Loi des sinus

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  1. 1Loi des sinus
    a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, où a, b, c sont les côtés, α, β, γ les angles opposés, et R le rayon du cercle circonscrit
  2. 2Loi des cosinus
    c² = a² + b² - 2ab cos γ (aussi écrite pour les autres côtés)
  3. 3À quoi se réduit la loi des cosinus pour un triangle rectangle ?
    Au théorème de Pythagore : c² = a² + b² (quand γ = 90°, cos 90° = 0)
  4. 4Cas ambigu dans la loi des sinus
    Quand deux triangles distincts peuvent être construits à partir des mêmes données (cas CCA), donnant deux solutions possibles
  5. 5Quelles conditions créent un cas ambigu avec la loi des sinus ?
    Quand l'angle α est aigu, le côté a < le côté c, et a > c sin α (configuration côté-côté-angle)
  6. 6Que représente le terme 2R dans la loi des sinus ?
    Le diamètre du cercle circonscrit au triangle (R est le rayon du cercle circonscrit)
  7. 7Comment utiliser la loi des cosinus pour trouver des angles ?
    cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab) quand les trois côtés sont connus
  8. 8Loi des sinus sphérique
    sin a/sin A = sin b/sin B = sin c/sin C pour des triangles sur une sphère avec des côtés en arcs de grands cercles
  9. 9Loi des cosinus pour les triangles sphériques
    cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (et permutations circulaires)
  10. 10Comment la loi des cosinus est-elle parfois appelée en France ?
    Théorème d'Al-Kashi
  11. 11Quelles propositions d'Euclide correspondent à la loi des cosinus ?
    Les propositions II.12 (triangles obtusangles) et II.13 (triangles acutangles) du livre II des Éléments
  12. 12Relation entre l'aire d'un triangle et la loi des sinus
    Aire T = abc/(4R) = 2R² sin α sin β sin γ, où R est le rayon du cercle circonscrit
  13. 13Formule de Héron
    Aire = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] où s = (a+b+c)/2 est le demi-périmètre (peut se déduire de la loi des sinus)
  14. 14Loi des cosinus pour un triangle isocèle (a = b)
    c² = 2a²(1 - cos γ), ou de façon équivalente cos γ = 1 - c²/(2a²)
  15. 15Comment démontre-t-on la loi des cosinus avec des coordonnées cartésiennes ?
    En plaçant le triangle dans un repère et en appliquant la formule de distance : c² = (a - b cos γ)² + (b sin γ)²
  16. 16Version de la loi des cosinus adaptée aux petits angles
    c² = (a - b)² + 2ab(1 - cos γ), qui évite l'annulation catastrophique
  17. 17En quoi dégénère la loi des cosinus pour des angles infinitésimaux ?
    En la formule de longueur d'un arc de cercle : c = aγ
  18. 18Loi des cosinus hyperbolique
    cosh c = cosh a cosh b - sinh a sinh b cos C (première forme)
  19. 19Seconde forme de la loi des cosinus hyperbolique
    cos C = -cos A cos B + sin A sin B cosh c
  20. 20Comment peut-on démontrer la loi des cosinus à partir de la loi des sinus ?
    En utilisant les identités de somme d'angles et la relation a/sin α = b/sin β = c/sin γ, puis des manipulations algébriques
  21. 21Théorème de Ptolémée et comment démontre-t-il la loi des cosinus
    Pour un quadrilatère cyclique, le produit des diagonales égale la somme des produits des côtés opposés ; son application permet de démontrer la loi des cosinus
  22. 22Comment démontrer la loi des cosinus à l'aide des hauteurs ?
    En exprimant c = a cos β + b cos α puis en manipulant : c² = a² + b² - 2ab cos γ
  23. 23Analogue de la loi des cosinus pour les tétraèdres
    D² = A² + B² + C² - 2AB cos θAB - 2AC cos θAC - 2BC cos θBC, où A,B,C,D sont les aires des faces
  24. 24Triangulation
    La technique consistant à calculer les côtés restants d'un triangle quand deux angles et un côté sont connus, à l'aide de la loi des sinus
  25. 25Résoudre un triangle donné avec CAC (deux côtés et l'angle compris)
    Utiliser la loi des cosinus pour trouver le troisième côté, puis la loi des sinus pour trouver les angles restants
  26. 26Résoudre un triangle donné avec CCC (trois côtés)
    Utiliser la loi des cosinus pour trouver un angle : cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab), puis trouver les autres angles de même façon ou avec la loi des sinus
  27. 27Résoudre un triangle donné avec AAC (deux angles et un côté non compris)
    Trouver le troisième angle (somme = 180°), puis utiliser la loi des sinus pour trouver les côtés restants
  28. 28Théorème de la puissance d'un point
    Pour un point extérieur à un cercle, la puissance égale le produit des distances le long de toute sécante, ce qui sert à démontrer la loi des cosinus
  29. 29Théorème de Thalès utilisé pour démontrer la loi des sinus
    Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit, ce qui aide à établir la relation avec le rayon circonscrit
  30. 30Théorème de l'angle inscrit
    Des angles interceptant la même corde depuis le cercle sont égaux, ce qui sert à démontrer la loi des sinus

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