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Sinussatz & Kosinussatz

39 cards · 🇩🇪 Deutsch

Lösen von nicht-rechtwinkligen Dreiecken mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz.

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Sinussatz

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  1. 1Sinussatz
    a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, wobei a, b, c die Seiten, α, β, γ die gegenüberliegenden Winkel und R der Umkreisradius sind
  2. 2Kosinussatz
    c² = a² + b² - 2ab cos γ (auch für andere Seiten formulierbar)
  3. 3Worauf reduziert sich der Kosinussatz bei rechtwinkligen Dreiecken?
    Auf den Satz des Pythagoras: c² = a² + b² (wenn γ = 90°, cos 90° = 0)
  4. 4Zweideutiger Fall beim Sinussatz
    Wenn zwei verschiedene Dreiecke aus denselben Daten konstruiert werden können (SSW-Fall), was zwei mögliche Lösungen ergibt
  5. 5Welche Bedingungen erzeugen einen zweideutigen Fall beim Sinussatz?
    Wenn Winkel α spitz ist, Seite a < Seite c, und a > c sin α (SSW-Konfiguration)
  6. 6Was stellt der Term 2R im Sinussatz dar?
    Den Durchmesser des Umkreises des Dreiecks (R ist der Umkreisradius)
  7. 7Wie kann der Kosinussatz zur Winkelbestimmung verwendet werden?
    cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab), wenn alle drei Seiten bekannt sind
  8. 8Sphärischer Sinussatz
    sin a/sin A = sin b/sin B = sin c/sin C für Dreiecke auf einer Kugel, deren Seiten Bögen von Großkreisen sind
  9. 9Kosinussatz für sphärische Dreiecke
    cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (und zyklische Vertauschungen)
  10. 10Wie wird der Kosinussatz in Frankreich manchmal genannt?
    Théorème d'Al-Kashi (Satz des Al-Kaschi)
  11. 11Welche Sätze bei Euklid entsprechen dem Kosinussatz?
    Die Sätze II.12 (stumpfe Dreiecke) und II.13 (spitze Dreiecke) aus Buch II der Elemente
  12. 12Beziehung zwischen Dreiecksfläche und dem Sinussatz
    Fläche T = abc/(4R) = 2R² sin α sin β sin γ, wobei R der Umkreisradius ist
  13. 13Heronsche Formel
    Fläche = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], wobei s = (a+b+c)/2 der halbe Umfang ist (lässt sich aus dem Sinussatz herleiten)
  14. 14Kosinussatz für gleichschenklige Dreiecke (a = b)
    c² = 2a²(1 - cos γ), bzw. äquivalent cos γ = 1 - c²/(2a²)
  15. 15Wie wird der Kosinussatz mit kartesischen Koordinaten bewiesen?
    Indem das Dreieck in ein Koordinatensystem gelegt und die Abstandsformel angewendet wird: c² = (a - b cos γ)² + (b sin γ)²
  16. 16Version des Kosinussatzes für kleine Winkel
    c² = (a - b)² + 2ab(1 - cos γ), was katastrophale Auslöschung vermeidet
  17. 17Wozu entartet der Kosinussatz bei infinitesimalen Winkeln?
    Zur Formel für die Kreisbogenlänge: c = aγ
  18. 18Hyperbolischer Kosinussatz
    cosh c = cosh a cosh b - sinh a sinh b cos C (erste Form)
  19. 19Zweite Form des hyperbolischen Kosinussatzes
    cos C = -cos A cos B + sin A sin B cosh c
  20. 20Wie lässt sich der Kosinussatz aus dem Sinussatz herleiten?
    Durch Verwendung von Winkelsummenidentitäten und der Beziehung a/sin α = b/sin β = c/sin γ, gefolgt von algebraischer Umformung
  21. 21Satz des Ptolemäus und wie er den Kosinussatz beweist
    Bei einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten; seine Anwendung beweist den Kosinussatz
  22. 22Wie lässt sich der Kosinussatz mithilfe von Höhen beweisen?
    Indem c = a cos β + b cos α ausgedrückt und umgeformt wird: c² = a² + b² - 2ab cos γ
  23. 23Analogon des Kosinussatzes für Tetraeder
    D² = A² + B² + C² - 2AB cos θAB - 2AC cos θAC - 2BC cos θBC, wobei A,B,C,D Flächeninhalte sind
  24. 24Triangulation
    Die Technik zur Berechnung der verbleibenden Seiten eines Dreiecks, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, mittels des Sinussatzes
  25. 25Löse ein Dreieck bei gegebenem SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel)
    Verwende den Kosinussatz, um die dritte Seite zu finden, dann den Sinussatz für die restlichen Winkel
  26. 26Löse ein Dreieck bei gegebenem SSS (drei Seiten)
    Verwende den Kosinussatz, um einen Winkel zu finden: cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab), dann die anderen Winkel ebenso oder mit dem Sinussatz bestimmen
  27. 27Löse ein Dreieck bei gegebenem WWS (zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite)
    Bestimme den dritten Winkel (Summe = 180°), dann verwende den Sinussatz für die restlichen Seiten
  28. 28Satz von der Potenz eines Punktes
    Für einen Punkt außerhalb eines Kreises ist die Potenz gleich dem Produkt der Abstände entlang jeder Sekante, verwendet zum Beweis des Kosinussatzes
  29. 29Satz des Thales beim Beweis des Sinussatzes
    Ein Winkel, der einem Halbkreis einbeschrieben ist, ist ein rechter Winkel, was hilft, die Beziehung zum Umkreisradius herzustellen
  30. 30Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)
    Winkel, die dieselbe Sehne vom Kreis aus einschließen, sind gleich, verwendet beim Beweis des Sinussatzes

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