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Ley de Senos y Ley de Cosenos

39 cards · 🇪🇸 Español

Resolución de triángulos no rectángulos con la ley de senos y la ley de cosenos.

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Ley de senos

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  1. 1Ley de senos
    a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, donde a, b, c son los lados, α, β, γ son los ángulos opuestos, y R es el circunradio
  2. 2Ley de cosenos
    c² = a² + b² - 2ab cos γ (también se escribe para los otros lados)
  3. 3¿A qué se reduce la ley de cosenos para triángulos rectángulos?
    Al teorema de Pitágoras: c² = a² + b² (cuando γ = 90°, cos 90° = 0)
  4. 4Caso ambiguo en la ley de senos
    Cuando se pueden construir dos triángulos distintos a partir de los mismos datos (caso LLA), dando dos soluciones posibles
  5. 5¿Qué condiciones crean un caso ambiguo con la ley de senos?
    Cuando el ángulo α es agudo, el lado a < el lado c, y a > c sin α (configuración LLA)
  6. 6¿Qué representa el término 2R en la ley de senos?
    El diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo (R es el circunradio)
  7. 7¿Cómo se puede usar la ley de cosenos para hallar ángulos?
    cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab) cuando se conocen los tres lados
  8. 8Ley de senos esférica
    sin a/sin A = sin b/sin B = sin c/sin C para triángulos en una esfera con lados como arcos de círculos máximos
  9. 9Ley de cosenos para triángulos esféricos
    cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (y permutaciones cíclicas)
  10. 10Cómo se llama a veces la ley de cosenos en Francia
    Théorème d'Al-Kashi (teorema de Al-Kashi)
  11. 11¿Qué proposiciones de Euclides corresponden a la ley de cosenos?
    Las proposiciones II.12 (triángulos obtusos) y II.13 (triángulos agudos) del Libro II de los Elementos
  12. 12Relación entre el área de un triángulo y la ley de senos
    Área T = abc/(4R) = 2R² sin α sin β sin γ, donde R es el circunradio
  13. 13Fórmula de Herón
    Área = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] donde s = (a+b+c)/2 es el semiperímetro (se puede derivar de la ley de senos)
  14. 14Ley de cosenos para triángulos isósceles (a = b)
    c² = 2a²(1 - cos γ), o equivalentemente cos γ = 1 - c²/(2a²)
  15. 15¿Cómo se demuestra la ley de cosenos usando coordenadas cartesianas?
    Colocando el triángulo en un sistema de coordenadas y aplicando la fórmula de la distancia: c² = (a - b cos γ)² + (b sin γ)²
  16. 16Versión de la ley de cosenos adecuada para ángulos pequeños
    c² = (a - b)² + 2ab(1 - cos γ), que evita la cancelación catastrófica
  17. 17¿En qué degenera la ley de cosenos para ángulos infinitesimales?
    En la fórmula de longitud de arco circular: c = aγ
  18. 18Ley de cosenos hiperbólica
    cosh c = cosh a cosh b - sinh a sinh b cos C (primera forma)
  19. 19Segunda forma de la ley de cosenos hiperbólica
    cos C = -cos A cos B + sin A sin B cosh c
  20. 20¿Cómo se puede derivar la ley de cosenos usando la ley de senos?
    Usando identidades de suma de ángulos y la relación a/sin α = b/sin β = c/sin γ, y luego manipulación algebraica
  21. 21El teorema de Ptolomeo y cómo demuestra la ley de cosenos
    Para un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos; aplicándolo se demuestra la ley de cosenos
  22. 22¿Cómo se puede demostrar la ley de cosenos usando alturas?
    Expresando c = a cos β + b cos α y manipulando: c² = a² + b² - 2ab cos γ
  23. 23Análogo de la ley de cosenos para tetraedros
    D² = A² + B² + C² - 2AB cos θAB - 2AC cos θAC - 2BC cos θBC, donde A,B,C,D son áreas de las caras
  24. 24Triangulación
    La técnica de calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, usando la ley de senos
  25. 25Resuelve un triángulo dado LAL (dos lados y el ángulo incluido)
    Usa la ley de cosenos para hallar el tercer lado, luego usa la ley de senos para hallar los ángulos restantes
  26. 26Resuelve un triángulo dado LLL (tres lados)
    Usa la ley de cosenos para hallar un ángulo: cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab), luego halla los demás ángulos de forma similar o usa la ley de senos
  27. 27Resuelve un triángulo dado AAL (dos ángulos y un lado no incluido)
    Halla el tercer ángulo (suma = 180°), luego usa la ley de senos para hallar los lados restantes
  28. 28Teorema de la potencia de un punto
    Para un punto fuera de una circunferencia, la potencia es igual al producto de las distancias a lo largo de cualquier secante, usado para demostrar la ley de cosenos
  29. 29El teorema de Tales usado para demostrar la ley de senos
    Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, lo que ayuda a establecer la relación con el circunradio
  30. 30Teorema del ángulo inscrito
    Los ángulos que subtienden la misma cuerda desde la circunferencia son iguales, usado para demostrar la ley de senos

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