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Grundlagen der Algebra: Lineare Gleichungen & Ungleichungen

98 cards · 🇩🇪 Deutsch

Variablen, Terme, lineare Gleichungen und Ungleichungen.

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Algebra

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  1. 1Algebra
    Ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit abstrakten Systemen befasst, die Variablen und algebraische Operationen verwenden und die Arithmetik verallgemeinern
  2. 2Variable in der Algebra
    Ein Symbol (meist ein Buchstabe wie x, y oder z), das eine nicht näher bestimmte oder unbekannte Größe darstellt
  3. 3Algebraischer Ausdruck
    Eine Kombination aus Variablen, Zahlen und Rechenoperationen, wie z. B. 5x + 3 oder 2y² - 4
  4. 4Gleichung
    Eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Ausdrücke gleich sind, unter Verwendung des Gleichheitszeichens (=), wie z. B. 3x + 5 = 14
  5. 5Ungleichung
    Eine mathematische Aussage, die zwei Ausdrücke mit Symbolen wie < (kleiner als), > (größer als), ≤ oder ≥ vergleicht
  6. 6Lineare Gleichung
    Eine Gleichung, die in der Form ax + b = c geschrieben werden kann, wobei a, b und c Konstanten sind und die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt
  7. 7Ziel beim Lösen einer Gleichung
    Den Wert bzw. die Werte der Variablen zu finden, die die Gleichung erfüllen, meist durch Isolieren der Variablen auf einer Seite
  8. 8Grundprinzip beim Lösen von Gleichungen
    Welche Operation auch immer auf eine Seite einer Gleichung angewendet wird, muss auch auf die andere Seite angewendet werden, um das Gleichgewicht zu erhalten
  9. 9nach x auflösen: x + 7 = 15
    x = 8. Auf beiden Seiten 7 subtrahieren: x + 7 - 7 = 15 - 7, also x = 8
  10. 10nach y auflösen: 3y = 12
    y = 4. Beide Seiten durch 3 teilen: 3y ÷ 3 = 12 ÷ 3, also y = 4
  11. 11Konstante in der Algebra
    Ein fester Wert, der sich nicht ändert, meist dargestellt durch Zahlen oder Buchstaben wie a, b, c in allgemeinen Formeln
  12. 12Koeffizient
    Eine Zahl, die eine Variable multipliziert, wie z. B. die 5 im Ausdruck 5x oder die -3 in -3y²
  13. 13Term in der Algebra
    Eine einzelne Zahl, Variable oder das Produkt aus Zahlen und Variablen, wie z. B. 7, x oder 4xy²
  14. 14Gleichartige Terme
    Terme mit denselben Variablen in denselben Potenzen, wie z. B. 3x und 7x, die zusammengefasst werden können
  15. 15Gleichartige Terme zusammenfassen
    Die Koeffizienten addieren oder subtrahieren: 3x + 7x = 10x, oder 8y - 3y = 5y
  16. 16Kommutativgesetz der Addition
    Für beliebige Zahlen a und b gilt: a + b = b + a (die Reihenfolge spielt keine Rolle)
  17. 17Distributivgesetz
    Für beliebige Zahlen a, b und c gilt: a(b + c) = ab + ac, wodurch man eine Summe mit einem Faktor multiplizieren kann
  18. 18Wende das Distributivgesetz an: 3(x + 4)
    3(x + 4) = 3x + 12
  19. 19Vereinfache: 2(3x - 5)
    2(3x - 5) = 6x - 10
  20. 20Identitätsgleichung
    Eine Gleichung, die für alle Werte der Variablen wahr ist, wie z. B. x + 0 = x oder 2(x + 3) = 2x + 6
  21. 21Bedingte Gleichung
    Eine Gleichung, die nur für bestimmte Werte der Variablen wahr ist, wie z. B. x + 5 = 10 (nur wahr, wenn x = 5)
  22. 22nach x auflösen: 2x - 6 = 10
    x = 8. Auf beiden Seiten 6 addieren: 2x = 16, dann durch 2 teilen: x = 8
  23. 23nach a auflösen: 5a + 3 = 18
    a = 3. Auf beiden Seiten 3 subtrahieren: 5a = 15, dann durch 5 teilen: a = 3
  24. 24Einsetzen (Substitution) in der Algebra
    Das Ersetzen einer Variablen durch einen äquivalenten Ausdruck oder bekannten Wert, z. B. wenn y = 2x + 1 und x = 3, dann y = 2(3) + 1 = 7
  25. 25Was bedeutet es, eine Variable zu isolieren?
    Eine Gleichung so umzuformen, dass die Variable allein auf einer Seite steht und ihr Wert klar erkennbar ist (z. B. x = 5)
  26. 26nach x auflösen: x/4 = 7
    x = 28. Beide Seiten mit 4 multiplizieren: 4(x/4) = 4(7), also x = 28
  27. 27nach y auflösen: -2y = 14
    y = -7. Beide Seiten durch -2 teilen: y = 14 ÷ (-2) = -7
  28. 28Lineare Ungleichung
    Eine Ungleichung mit einem linearen Ausdruck, wie z. B. 2x + 3 < 10 oder 5y - 2 ≥ 13
  29. 29Eine lineare Ungleichung lösen
    Dieselben Operationen wie bei Gleichungen anwenden, aber beachten: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden
  30. 30Löse: x + 3 > 7
    x > 4. Auf beiden Seiten 3 subtrahieren: x > 7 - 3, also x > 4

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