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Vektoren & lineare Abbildungen

59 cards · 🇩🇪 Deutsch

Vektoroperationen und lineare Abbildungen/Matrizen.

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Vektorraum

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  1. 1Vektorraum
    Eine Menge, deren Elemente (Vektoren) addiert und mit Skalaren multipliziert werden können, unter Erfüllung von acht Axiomen wie Assoziativität, Kommutativität, neutralen Elementen und Distributivität.
  2. 2Zwei grundlegende Operationen in einem Vektorraum
    Vektoraddition (ordnet zwei Vektoren v + w zu) und Skalarmultiplikation (ordnet einem Skalar a und Vektor v den Vektor av zu).
  3. 3Nullvektor
    Ein Element 0 ∈ V, sodass v + 0 = v für alle Vektoren v im Vektorraum gilt. Es ist das neutrale Element der Vektoraddition.
  4. 4Additives Inverses eines Vektors v
    Ein Element −v, sodass v + (−v) = 0 gilt. Jeder Vektor in einem Vektorraum muss ein additives Inverses besitzen.
  5. 5Skalar im Kontext von Vektorräumen
    Ein Element des zugrunde liegenden Körpers (meist reelle oder komplexe Zahlen), mit dem Vektoren bei der Skalarmultiplikation multipliziert werden.
  6. 6Linearkombination
    Ein Ausdruck der Form a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ, wobei aᵢ Skalare und vᵢ Vektoren sind.
  7. 7Vektoren linear unabhängig sein
    Kein Element der Menge lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen; gleichbedeutend: eine Linearkombination ist genau dann gleich null, wenn alle Koeffizienten null sind.
  8. 8Linearer Unterraum
    Eine nicht-leere Teilmenge eines Vektorraums, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist (Summen und Skalarvielfache von Elementen bleiben in der Teilmenge).
  9. 9Aufspann (Span) einer Vektormenge
    Der kleinste lineare Unterraum, der die Menge enthält; gleichbedeutend die Menge aller Linearkombinationen von Elementen dieser Menge.
  10. 10Basis eines Vektorraums
    Eine Teilmenge, deren Elemente linear unabhängig sind und den gesamten Vektorraum aufspannen.
  11. 11Dimension eines Vektorraums
    Die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) einer beliebigen Basis; alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Mächtigkeit.
  12. 12Koordinatenvektoren
    Das n-Tupel von Skalaren (Koeffizienten), das einen Vektor eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellt.
  13. 13Lineare Abbildung (lineare Transformation)
    Eine Funktion f zwischen Vektorräumen, die Summen und Skalarmultiplikation erhält: f(u + v) = f(u) + f(v) und f(av) = af(v).
  14. 14Welche Eigenschaft hat jede lineare Abbildung bezüglich des Ursprungs?
    Eine lineare Abbildung bildet den Ursprung des Definitionsbereichs stets auf den Ursprung des Wertebereichs ab: f(0) = 0.
  15. 15Isomorphismus zwischen Vektorräumen
    Eine lineare Abbildung, die bijektiv ist (sowohl injektiv als auch surjektiv), d. h. sie besitzt eine ebenfalls lineare Umkehrabbildung.
  16. 16Linearer Endomorphismus
    Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst: f : V → V.
  17. 17Kern (Nullraum) einer linearen Abbildung f : V → W
    Die Menge aller Vektoren in V, die auf null in W abgebildet werden: ker(f) = {v ∈ V : f(v) = 0}. Er ist ein Unterraum von V.
  18. 18Bild (Wertebereich) einer linearen Abbildung f : V → W
    Die Menge aller Vektoren in W, die Bild eines Vektors aus V sind: im(f) = {f(v) : v ∈ V}. Es ist ein Unterraum von W.
  19. 19Formuliere den Rangsatz (Dimensionssatz).
    Für eine lineare Abbildung f : V → W mit endlichdimensionalem V gilt: dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)), also Dimension des Definitionsbereichs = Defekt + Rang.
  20. 20Rang einer linearen Transformation
    Die Dimension des Bildes (Wertebereichs) der Transformation, bezeichnet mit rank(f) oder dim(im(f)).
  21. 21Defekt (Nullität) einer linearen Transformation
    Die Dimension des Kerns (Nullraums) der Transformation, bezeichnet mit nullity(f) oder dim(ker(f)).
  22. 22Wie werden lineare Abbildungen durch Matrizen dargestellt?
    Sobald Basen für Definitions- und Wertebereich gewählt sind, wird eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Matrix dargestellt, deren Spalten die Bilder der Basisvektoren enthalten.
  23. 23Wie hängt Matrixmultiplikation mit linearen Abbildungen zusammen?
    Die Verkettung linearer Abbildungen entspricht der Matrixmultiplikation; sind f und g lineare Abbildungen, ist die Matrix von g∘f das Produkt ihrer Matrizen.
  24. 24Was sagt die Determinante einer Matrix über die zugehörige lineare Abbildung aus?
    Ob die Abbildung ein Isomorphismus (bijektiv) ist; die Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn die Determinante ungleich null ist.
  25. 25Eigenvektor einer linearen Transformation f : V → V
    Ein von null verschiedener Vektor v, sodass f(v) = λv für einen Skalar λ gilt (der Eigenvektor wird durch die Transformation skaliert).
  26. 26Eigenwert
    Der Skalar λ, der einem Eigenvektor v zugeordnet ist und f(v) = λv für einen linearen Endomorphismus f erfüllt.
  27. 27Wie werden die Eigenwerte einer Matrix A berechnet?
    Durch Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A - λI) = 0, wobei I die Einheitsmatrix ist.
  28. 28Eigenraum
    Die Menge aller Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert, zusammen mit dem Nullvektor. Er bildet einen Vektorunterraum.
  29. 29Dualraum V*
    Der Raum aller linearen Funktionale (linearen Abbildungen) von V in den Körper F, bezeichnet mit V* = Hom(V, F).
  30. 30Lineares Funktional
    Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in seinen zugrunde liegenden Skalarkörper, f : V → F.

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