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Eigenwerte & Eigenvektoren

29 cards · 🇩🇪 Deutsch

Was Eigenwerte und Eigenvektoren sind und wie man sie berechnet.

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Eigenvektor einer Matrix A

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  1. 1Eigenvektor einer Matrix A
    Ein von null verschiedener Vektor v, sodass Av = λv gilt, wobei λ ein Skalar ist; die Richtung des Vektors bleibt bei der Transformation unverändert, nur seine Länge wird skaliert
  2. 2Eigenwert
    Der Skalar λ in Av = λv, der den Faktor angibt, um den ein Eigenvektor bei der linearen Transformation skaliert wird
  3. 3Eigenwerte einer Matrix A finden
    Löse die charakteristische Gleichung det(A - λI) = 0, wobei I die Einheitsmatrix ist
  4. 4Charakteristisches Polynom
    Das Polynom det(A - λI); seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix A
  5. 5Eigenvektoren finden, nachdem die Eigenwerte bestimmt wurden
    Löse für jeden Eigenwert λ die Gleichung (A - λI)v = 0, um den bzw. die zugehörigen Eigenvektor(en) im Nullraum zu finden
  6. 6Geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts
    Die Dimension des Eigenraums (Nullraum von A - λI); Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu diesem Eigenwert
  7. 7Algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts
    Die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms; wie oft λ auftritt
  8. 8Zusammenhang zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit
    Geometrische Vielfachheit ≤ algebraische Vielfachheit; Gleichheit gilt genau dann, wenn die Matrix bezüglich dieses Eigenwerts diagonalisierbar ist
  9. 9Eine Matrix diagonalisierbar sein
    Kann als A = PDP⁻¹ geschrieben werden, wobei D eine Diagonalmatrix (Eigenwerte) ist und P die Eigenvektoren als Spalten enthält
  10. 10Spur einer Matrix und ihr Zusammenhang mit den Eigenwerten
    Summe der Diagonalelemente; entspricht der Summe aller Eigenwerte (mit Vielfachheit): tr(A) = Σλᵢ
  11. 11Zusammenhang der Determinante mit den Eigenwerten
    det(A) = Produkt aller Eigenwerte (mit Vielfachheit): det(A) = Πλᵢ
  12. 12Eigenwerte einer Dreiecksmatrix
    Die Diagonaleinträge der Matrix
  13. 13Eigenwerte der Einheitsmatrix
    Alle Eigenwerte sind 1; jeder von null verschiedene Vektor ist ein Eigenvektor
  14. 14Eigenwerte der Nullmatrix
    Alle Eigenwerte sind 0; jeder von null verschiedene Vektor ist ein Eigenvektor
  15. 15Hat A den Eigenwert λ, welche Eigenwerte hat A²?
    λ² (mit denselben Eigenvektoren); allgemein sind die Eigenwerte von Aⁿ gleich λⁿ
  16. 16Hat A den Eigenwert λ, welche Eigenwerte hat A⁻¹ (falls invertierbar)?
    1/λ (mit denselben Eigenvektoren); A ist genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte ungleich null sind
  17. 17Eigenwerte einer symmetrischen Matrix
    Immer reelle Zahlen; Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten stehen orthogonal zueinander
  18. 18Spektralsatz für symmetrische Matrizen
    Jede reelle symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar: A = QΛQ^T, wobei Q orthogonal und Λ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist
  19. 19Eigenwerte einer orthogonalen Matrix
    Haben alle den Betrag 1 (|λ| = 1); können komplex sein, selbst wenn die Matrix reell ist
  20. 20Eigenraum
    Die Menge aller Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert λ, zusammen mit dem Nullvektor; bildet einen Unterraum
  21. 21Potenzmethode zur Bestimmung von Eigenwerten
    Iteratives Verfahren, das durch wiederholte Multiplikation mit A den dominanten Eigenwert (größter Betrag) und den zugehörigen Eigenvektor findet
  22. 22Defekte Matrix
    Eine Matrix, die nicht diagonalisierbar ist; sie hat weniger als n linear unabhängige Eigenvektoren (geometrische Vielfachheit < algebraische Vielfachheit)
  23. 23Anwendungen von Eigenwerten in der Physik
    Quantenmechanik (Energieniveaus), Schwingungsanalyse (Eigenfrequenzen), Stabilität von Differentialgleichungen, Hauptkomponenten
  24. 24Wie werden Eigenwerte in Googles PageRank eingesetzt?
    Webseiten werden anhand des dominanten Eigenvektors der Verlinkungsmatrix bewertet; misst die Bedeutung basierend auf Verknüpfungen
  25. 25Hauptkomponentenanalyse (PCA)
    Statistisches Verfahren, das die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix zur Dimensionsreduktion nutzt; die Hauptkomponenten sind die Richtungen maximaler Varianz
  26. 26Eigenwerte in Differentialgleichungen
    Bestimmen Stabilität und Verhalten der Lösungen; das System dy/dt = Ay hat Lösungen der Form e^(λt), wobei λ die Eigenwerte sind
  27. 27Satz von Gershgorin (Gershgorin-Kreise)
    Jeder Eigenwert liegt in mindestens einem Gershgorin-Kreis: Mittelpunkt bei aᵢᵢ, Radius Σ|aᵢⱼ| (j≠i); hilft, die Lage der Eigenwerte einzugrenzen
  28. 28Ähnliche Matrizen und ihr Zusammenhang bei Eigenwerten
    Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn B = P⁻¹AP für eine invertierbare Matrix P gilt; ähnliche Matrizen haben identische Eigenwerte
  29. 29Warum können Eigenvektoren nicht der Nullvektor sein?
    Per Definition müssen Eigenvektoren von null verschieden sein; Av = λv wäre für v=0 stets erfüllt, unabhängig von λ, wodurch die Definition bedeutungslos würde

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