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Vecteurs et applications linéaires

59 cards · 🇫🇷 Français

Opérations sur les vecteurs et applications linéaires / matrices.

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Espace vectoriel

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  1. 1Espace vectoriel
    Un ensemble dont les éléments (vecteurs) peuvent être additionnés entre eux et multipliés par des scalaires, en vérifiant huit axiomes incluant l'associativité, la commutativité, les éléments neutres et la distributivité.
  2. 2Deux opérations fondamentales d'un espace vectoriel
    L'addition vectorielle (associer v + w à deux vecteurs quelconques) et la multiplication par un scalaire (associer av à un scalaire a et un vecteur v).
  3. 3Vecteur nul
    Un élément 0 ∈ V tel que v + 0 = v pour tout vecteur v de l'espace vectoriel. C'est l'élément neutre de l'addition vectorielle.
  4. 4Opposé (inverse additif) d'un vecteur v
    Un élément −v tel que v + (−v) = 0. Tout vecteur d'un espace vectoriel doit posséder un opposé.
  5. 5Scalaire dans le contexte des espaces vectoriels
    Un élément du corps (typiquement les réels ou les complexes) par lequel on multiplie les vecteurs dans la multiplication scalaire.
  6. 6Combinaison linéaire
    Une expression de la forme a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ où les aᵢ sont des scalaires et les vᵢ des vecteurs.
  7. 7Vecteurs linéairement indépendants
    Aucun élément de l'ensemble ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres ; de façon équivalente, une combinaison linéaire est nulle si et seulement si tous les coefficients sont nuls.
  8. 8Sous-espace vectoriel
    Un sous-ensemble non vide d'un espace vectoriel, stable par addition vectorielle et par multiplication scalaire (la somme et les multiples scalaires des éléments restent dans le sous-ensemble).
  9. 9Sous-espace engendré (span) par un ensemble de vecteurs
    Le plus petit sous-espace vectoriel contenant l'ensemble ; de façon équivalente, l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des éléments de cet ensemble.
  10. 10Base d'un espace vectoriel
    Un sous-ensemble dont les éléments sont linéairement indépendants et engendrent tout l'espace vectoriel.
  11. 11Dimension d'un espace vectoriel
    Le cardinal (nombre d'éléments) d'une base quelconque ; toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même cardinal.
  12. 12Coordonnées d'un vecteur
    Le n-uplet de scalaires (coefficients) qui représente de façon unique un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de base.
  13. 13Application linéaire (transformation linéaire)
    Une fonction f entre deux espaces vectoriels qui préserve la somme et la multiplication scalaire : f(u + v) = f(u) + f(v) et f(av) = af(v).
  14. 14Quelle propriété possède toute application linéaire vis-à-vis de l'origine ?
    Une application linéaire envoie toujours l'origine de l'espace de départ sur l'origine de l'espace d'arrivée : f(0) = 0.
  15. 15Isomorphisme entre espaces vectoriels
    Une application linéaire bijective (à la fois injective et surjective), c'est-à-dire possédant une application réciproque elle aussi linéaire.
  16. 16Endomorphisme linéaire
    Une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même : f : V → V.
  17. 17Noyau d'une application linéaire f : V → W
    L'ensemble de tous les vecteurs de V dont l'image dans W est nulle : ker(f) = {v ∈ V : f(v) = 0}. C'est un sous-espace de V.
  18. 18Image d'une application linéaire f : V → W
    L'ensemble de tous les vecteurs de W qui sont l'image d'un vecteur de V : im(f) = {f(v) : v ∈ V}. C'est un sous-espace de W.
  19. 19Énoncez le théorème du rang.
    Pour une application linéaire f : V → W avec V de dimension finie : dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)), autrement dit dimension de l'espace de départ = dimension du noyau + rang.
  20. 20Rang d'une application linéaire
    La dimension de l'image de l'application, notée rang(f) ou dim(im(f)).
  21. 21Dimension du noyau d'une application linéaire
    La dimension du noyau de l'application, notée dim(ker(f)).
  22. 22Comment représente-t-on les applications linéaires à l'aide de matrices ?
    Une fois des bases choisies pour l'espace de départ et l'espace d'arrivée, une application linéaire est représentée de façon unique par une matrice dont les colonnes contiennent les images des vecteurs de base.
  23. 23Quel est le lien entre multiplication matricielle et applications linéaires ?
    La composition d'applications linéaires correspond à un produit matriciel ; si f et g sont des applications linéaires, la matrice de g∘f est le produit de leurs matrices.
  24. 24Que révèle le déterminant d'une matrice sur l'application linéaire associée ?
    Si l'application est un isomorphisme (bijective) ; l'application est un isomorphisme si et seulement si le déterminant est non nul.
  25. 25Vecteur propre d'une application linéaire f : V → V
    Un vecteur non nul v tel que f(v) = λv pour un certain scalaire λ (le vecteur propre est seulement mis à l'échelle par la transformation).
  26. 26Valeur propre
    Le scalaire λ associé à un vecteur propre v, vérifiant f(v) = λv pour un endomorphisme linéaire f.
  27. 27Comment calcule-t-on les valeurs propres d'une matrice A ?
    En trouvant les racines du polynôme caractéristique det(A − λI) = 0, où I est la matrice identité.
  28. 28Sous-espace propre
    L'ensemble de tous les vecteurs propres associés à une valeur propre donnée, auquel on ajoute le vecteur nul. C'est un sous-espace vectoriel.
  29. 29Espace dual V*
    L'espace de toutes les formes linéaires (applications linéaires) de V vers le corps F, noté V* = Hom(V, F).
  30. 30Forme linéaire
    Une application linéaire d'un espace vectoriel vers son corps de scalaires, f : V → F.

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