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Vectores y Transformaciones Lineales

59 cards · 🇪🇸 Español

Operaciones con vectores y transformaciones lineales/matrices.

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Espacio vectorial

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  1. 1Espacio vectorial
    Un conjunto cuyos elementos (vectores) pueden sumarse entre sí y multiplicarse por escalares, cumpliendo ocho axiomas que incluyen asociatividad, conmutatividad, elementos identidad y distributividad.
  2. 2Dos operaciones fundamentales de un espacio vectorial
    La suma de vectores (asignar v + w a dos vectores cualesquiera) y la multiplicación por escalar (asignar av a un escalar a y un vector v).
  3. 3Vector cero
    Un elemento 0 ∈ V tal que v + 0 = v para todo vector v del espacio vectorial. Es el elemento identidad de la suma de vectores.
  4. 4Inverso aditivo de un vector v
    Un elemento −v tal que v + (−v) = 0. Todo vector de un espacio vectorial debe tener un inverso aditivo.
  5. 5Escalar en el contexto de los espacios vectoriales
    Un elemento del cuerpo (típicamente los números reales o complejos) por el cual se multiplican los vectores en la multiplicación escalar.
  6. 6Combinación lineal
    Una expresión de la forma a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ donde aᵢ son escalares y vᵢ son vectores.
  7. 7Vectores linealmente independientes
    Ningún elemento del conjunto puede escribirse como combinación lineal de los demás; equivalentemente, una combinación lineal es igual a cero si y solo si todos los coeficientes son cero.
  8. 8Subespacio lineal
    Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que es cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalar (la suma y los múltiplos escalares de sus elementos permanecen en el subconjunto).
  9. 9Espacio generado (span) de un conjunto de vectores
    El subespacio lineal más pequeño que contiene al conjunto; equivalentemente, el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de ese conjunto.
  10. 10Base de un espacio vectorial
    Un subconjunto cuyos elementos son linealmente independientes y generan todo el espacio vectorial.
  11. 11Dimensión de un espacio vectorial
    La cardinalidad (número de elementos) de cualquier base; todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad.
  12. 12Vectores de coordenadas
    La n-tupla de escalares (coeficientes) que representa de forma única a un vector como combinación lineal de los vectores de la base.
  13. 13Aplicación lineal (transformación lineal)
    Una función f entre espacios vectoriales que preserva las sumas y la multiplicación por escalar: f(u + v) = f(u) + f(v) y f(av) = af(v).
  14. 14¿Qué propiedad tiene toda aplicación lineal respecto al origen?
    Una aplicación lineal siempre envía el origen del dominio al origen del codominio: f(0) = 0.
  15. 15Isomorfismo entre espacios vectoriales
    Una aplicación lineal biyectiva (inyectiva y sobreyectiva a la vez), lo que significa que tiene una inversa que también es lineal.
  16. 16Endomorfismo lineal
    Una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo: f : V → V.
  17. 17Núcleo (espacio nulo) de una aplicación lineal f : V → W
    El conjunto de todos los vectores de V que se aplican en cero en W: ker(f) = {v ∈ V : f(v) = 0}. Es un subespacio de V.
  18. 18Imagen (rango) de una aplicación lineal f : V → W
    El conjunto de todos los vectores de W que son imagen de algún vector de V: im(f) = {f(v) : v ∈ V}. Es un subespacio de W.
  19. 19Enuncia el teorema del rango-nulidad.
    Para una aplicación lineal f : V → W con V de dimensión finita: dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)), es decir, dimensión del dominio = nulidad + rango.
  20. 20Rango de una transformación lineal
    La dimensión de la imagen (rango) de la transformación, denotada rank(f) o dim(im(f)).
  21. 21Nulidad de una transformación lineal
    La dimensión del núcleo (espacio nulo) de la transformación, denotada nullity(f) o dim(ker(f)).
  22. 22¿Cómo se representan las aplicaciones lineales mediante matrices?
    Una vez elegidas las bases del dominio y del codominio, una aplicación lineal se representa de forma única mediante una matriz cuyas columnas contienen las imágenes de los vectores de la base.
  23. 23¿Cómo se relaciona la multiplicación de matrices con las aplicaciones lineales?
    La composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices; si f y g son aplicaciones lineales, la matriz de g∘f es el producto de sus matrices.
  24. 24¿Qué indica el determinante de una matriz sobre la aplicación lineal correspondiente?
    Si la aplicación es un isomorfismo (biyectiva); la aplicación es un isomorfismo si y solo si el determinante es distinto de cero.
  25. 25Autovector (vector propio) de una transformación lineal f : V → V
    Un vector no nulo v tal que f(v) = λv para algún escalar λ (el autovector es escalado por la transformación).
  26. 26Autovalor (valor propio)
    El escalar λ asociado a un autovector v, que satisface f(v) = λv para un endomorfismo lineal f.
  27. 27¿Cómo se calculan los autovalores de una matriz A?
    Hallando las raíces del polinomio característico det(A - λI) = 0, donde I es la matriz identidad.
  28. 28Espacio propio (autoespacio)
    El conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor determinado, junto con el vector cero. Forma un subespacio vectorial.
  29. 29Espacio vectorial dual V*
    El espacio de todos los funcionales lineales (aplicaciones lineales) de V al cuerpo F, denotado V* = Hom(V, F).
  30. 30Funcional lineal
    Una aplicación lineal de un espacio vectorial a su cuerpo de escalares subyacente, f : V → F.

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