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Valeurs propres et vecteurs propres

29 cards · 🇫🇷 Français

Ce que sont les valeurs propres et les vecteurs propres, et comment les calculer.

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Vecteur propre d'une matrice A

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  1. 1Vecteur propre d'une matrice A
    Un vecteur non nul v tel que Av = λv, où λ est un scalaire ; la direction du vecteur est inchangée par la transformation, seule sa longueur est modifiée
  2. 2Valeur propre
    Le scalaire λ dans Av = λv, qui représente le facteur par lequel un vecteur propre est mis à l'échelle lors de la transformation linéaire
  3. 3Trouver les valeurs propres d'une matrice A
    Résoudre l'équation caractéristique det(A − λI) = 0, où I est la matrice identité
  4. 4Polynôme caractéristique
    Le polynôme det(A − λI) ; ses racines sont les valeurs propres de la matrice A
  5. 5Trouver les vecteurs propres une fois les valeurs propres connues
    Pour chaque valeur propre λ, résoudre (A − λI)v = 0 pour trouver le ou les vecteurs propres correspondants dans le noyau
  6. 6Multiplicité géométrique d'une valeur propre
    La dimension du sous-espace propre (noyau de A − λI) ; le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants pour cette valeur propre
  7. 7Multiplicité algébrique d'une valeur propre
    La multiplicité de λ en tant que racine du polynôme caractéristique ; le nombre de fois où elle apparaît
  8. 8Relation entre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique
    Multiplicité géométrique ≤ Multiplicité algébrique ; l'égalité est vérifiée si et seulement si la matrice est diagonalisable pour cette valeur propre
  9. 9Une matrice diagonalisable
    Peut s'écrire A = PDP⁻¹ où D est diagonale (valeurs propres) et P contient les vecteurs propres en colonnes
  10. 10Trace d'une matrice et son lien avec les valeurs propres
    La somme des éléments diagonaux ; elle est égale à la somme de toutes les valeurs propres (avec multiplicités) : tr(A) = Σλᵢ
  11. 11Lien entre déterminant et valeurs propres
    det(A) = produit de toutes les valeurs propres (avec multiplicités) : det(A) = Πλᵢ
  12. 12Valeurs propres d'une matrice triangulaire
    Les éléments diagonaux de la matrice
  13. 13Valeurs propres de la matrice identité
    Toutes les valeurs propres valent 1 ; tout vecteur non nul est un vecteur propre
  14. 14Valeurs propres de la matrice nulle
    Toutes les valeurs propres valent 0 ; tout vecteur non nul est un vecteur propre
  15. 15Si A a pour valeur propre λ, quelles sont les valeurs propres de A² ?
    λ² (avec les mêmes vecteurs propres) ; plus généralement, les valeurs propres de Aⁿ sont λⁿ
  16. 16Si A a pour valeur propre λ, quelles sont les valeurs propres de A⁻¹ (si elle est inversible) ?
    1/λ (avec les mêmes vecteurs propres) ; A est inversible si et seulement si toutes ses valeurs propres sont non nulles
  17. 17Valeurs propres d'une matrice symétrique
    Toujours des nombres réels ; les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux
  18. 18Théorème spectral pour les matrices symétriques
    Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable orthogonalement : A = QΛQ^T où Q est orthogonale et Λ est diagonale, contenant les valeurs propres
  19. 19Valeurs propres d'une matrice orthogonale
    Toutes de module 1 (|λ| = 1) ; elles peuvent être complexes même si la matrice est réelle
  20. 20Sous-espace propre
    L'ensemble de tous les vecteurs propres associés à une valeur propre λ donnée, auquel on ajoute le vecteur nul ; il forme un sous-espace
  21. 21Méthode de la puissance itérée pour trouver les valeurs propres
    Un algorithme itératif permettant de trouver la valeur propre dominante (de plus grand module) et son vecteur propre associé, en multipliant répétitivement par A
  22. 22Matrice défective
    Une matrice non diagonalisable ; elle possède moins de n vecteurs propres linéairement indépendants (multiplicité géométrique < multiplicité algébrique)
  23. 23Applications des valeurs propres en physique
    Mécanique quantique (niveaux d'énergie), analyse vibratoire (fréquences propres), stabilité des équations différentielles, composantes principales
  24. 24Comment les valeurs propres sont-elles utilisées dans le PageRank de Google ?
    Les pages web sont classées à l'aide du vecteur propre dominant de la matrice des liens ; cela mesure l'importance d'une page en fonction de ses connexions
  25. 25Analyse en composantes principales (ACP)
    Technique statistique utilisant les vecteurs propres de la matrice de covariance pour réduire la dimensionnalité ; les composantes principales sont les directions de variance maximale
  26. 26Valeurs propres dans les équations différentielles
    Elles déterminent la stabilité et le comportement des solutions ; le système dy/dt = Ay a des solutions faisant intervenir e^(λt), où λ sont les valeurs propres
  27. 27Théorème des disques de Gershgorin
    Chaque valeur propre se situe dans au moins un disque de Gershgorin : de centre aᵢᵢ et de rayon Σ|aᵢⱼ| (j≠i) ; ce théorème aide à localiser les valeurs propres
  28. 28Matrices semblables et lien entre leurs valeurs propres
    Les matrices A et B sont semblables si B = P⁻¹AP pour une certaine matrice inversible P ; des matrices semblables ont exactement les mêmes valeurs propres
  29. 29Pourquoi un vecteur propre ne peut-il pas être le vecteur nul ?
    Par définition, un vecteur propre doit être non nul ; Av = λv serait toujours vérifiée par v = 0 pour n'importe quel λ, ce qui rendrait la définition dénuée de sens

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