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Autovalores y Autovectores

29 cards · 🇪🇸 Español

Qué son los autovalores y autovectores y cómo calcularlos.

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Autovector de una matriz A

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  1. 1Autovector de una matriz A
    Un vector no nulo v tal que Av = λv, donde λ es un escalar; la dirección del vector no cambia con la transformación, solo se escala
  2. 2Autovalor
    El escalar λ en Av = λv que representa el factor por el cual se escala un autovector durante la transformación lineal
  3. 3Hallar los autovalores de una matriz A
    Resolver la ecuación característica det(A - λI) = 0, donde I es la matriz identidad
  4. 4Polinomio característico
    El polinomio det(A - λI); sus raíces son los autovalores de la matriz A
  5. 5Hallar los autovectores después de hallar los autovalores
    Para cada autovalor λ, resolver (A - λI)v = 0 para hallar el/los autovector(es) correspondiente(s) en el espacio nulo
  6. 6Multiplicidad geométrica de un autovalor
    La dimensión del espacio propio (espacio nulo de A - λI); el número de autovectores linealmente independientes para ese autovalor
  7. 7Multiplicidad algebraica de un autovalor
    La multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico; cuántas veces aparece
  8. 8Relación entre la multiplicidad algebraica y la geométrica
    Multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica; la igualdad se cumple si y solo si la matriz es diagonalizable para ese autovalor
  9. 9Que una matriz sea diagonalizable
    Puede escribirse como A = PDP⁻¹, donde D es diagonal (autovalores) y P contiene los autovectores como columnas
  10. 10Traza de una matriz y su relación con los autovalores
    Suma de los elementos diagonales; es igual a la suma de todos los autovalores (con sus multiplicidades): tr(A) = Σλᵢ
  11. 11Relación del determinante con los autovalores
    det(A) = producto de todos los autovalores (con sus multiplicidades): det(A) = Πλᵢ
  12. 12Autovalores de una matriz triangular
    Los elementos de la diagonal de la matriz
  13. 13Autovalores de la matriz identidad
    Todos los autovalores son 1; todo vector no nulo es un autovector
  14. 14Autovalores de la matriz nula
    Todos los autovalores son 0; todo vector no nulo es un autovector
  15. 15Si A tiene el autovalor λ, ¿cuáles son los autovalores de A²?
    λ² (con los mismos autovectores); en general, los autovalores de Aⁿ son λⁿ
  16. 16Si A tiene el autovalor λ, ¿cuáles son los autovalores de A⁻¹ (si es invertible)?
    1/λ (con los mismos autovectores); A es invertible si y solo si todos los autovalores son distintos de cero
  17. 17Autovalores de una matriz simétrica
    Siempre son números reales; los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales
  18. 18Teorema espectral para matrices simétricas
    Toda matriz real simétrica es diagonalizable ortogonalmente: A = QΛQ^T, donde Q es ortogonal y Λ es diagonal con los autovalores
  19. 19Autovalores de una matriz ortogonal
    Todos tienen magnitud 1 (|λ| = 1); pueden ser complejos aunque la matriz sea real
  20. 20Espacio propio (eigenspace)
    El conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor λ determinado, más el vector cero; forma un subespacio
  21. 21Método de la potencia para hallar autovalores
    Algoritmo iterativo para hallar el autovalor dominante (de mayor magnitud) y su autovector correspondiente multiplicando repetidamente por A
  22. 22Matriz defectuosa
    Una matriz que no es diagonalizable; tiene menos de n autovectores linealmente independientes (multiplicidad geométrica < multiplicidad algebraica)
  23. 23Aplicaciones de los autovalores en física
    Mecánica cuántica (niveles de energía), análisis de vibraciones (frecuencias naturales), estabilidad de ecuaciones diferenciales, componentes principales
  24. 24¿Cómo se usan los autovalores en el PageRank de Google?
    Las páginas web se clasifican según el autovector dominante de la matriz de enlaces; mide la importancia según las conexiones
  25. 25Análisis de Componentes Principales (PCA)
    Técnica estadística que usa los autovectores de la matriz de covarianza para reducir la dimensionalidad; las componentes principales son las direcciones de máxima varianza
  26. 26Autovalores en ecuaciones diferenciales
    Determinan la estabilidad y el comportamiento de las soluciones; el sistema dy/dt = Ay tiene soluciones que involucran e^(λt), donde λ son los autovalores
  27. 27Teorema del círculo de Gershgorin
    Todo autovalor se encuentra dentro de al menos un disco de Gershgorin: centro en aᵢᵢ, radio Σ|aᵢⱼ| (j≠i); ayuda a acotar la ubicación de los autovalores
  28. 28Matrices semejantes y relación entre sus autovalores
    Las matrices A y B son semejantes si B = P⁻¹AP para alguna matriz invertible P; las matrices semejantes tienen autovalores idénticos
  29. 29¿Por qué los autovectores no pueden ser el vector cero?
    Por definición, los autovectores deben ser no nulos; Av = λv siempre se cumpliría con v=0 para cualquier λ, haciéndolo trivial

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