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Séries, suites et équations différentielles

111 cards · 🇫🇷 Français

Suites, séries, tests de convergence et équations différentielles de base.

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Série mathématique

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  1. 1Série mathématique
    Une addition d'une infinité de termes, les uns après les autres
  2. 2Notation d'une série infinie
    Σ(n=1 à ∞) aₙ ou a₁ + a₂ + a₃ + ...
  3. 3Somme partielle
    La somme des n premiers termes : Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  4. 4Somme d'une série convergente
    La limite de la suite des sommes partielles : Σaₙ = lim(n→∞) Sₙ
  5. 5Erreur de troncature d'ordre n
    La différence entre la somme d'une série et sa n-ième somme partielle
  6. 6Série géométrique
    Une série où chaque terme est le précédent multiplié par une raison constante r
  7. 7Forme générale d'une série géométrique
    Σ(n=0 à ∞) arⁿ où a est le terme initial et r la raison commune
  8. 8Somme d'une série géométrique convergente
    a/(1-r) lorsque |r| < 1
  9. 9Formule de la somme partielle d'une série géométrique
    Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r) si r ≠ 1, ou Sₙ = na si r = 1
  10. 10Série harmonique
    Σ(n=1 à ∞) 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
  11. 11La série harmonique converge-t-elle ?
    Non, la série harmonique diverge
  12. 12Série alternée
    Une série dont les termes alternent de signe
  13. 13Série harmonique alternée
    Σ(n=1 à ∞) (-1)ⁿ⁺¹/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
  14. 14Somme de la série harmonique alternée
    ln(2)
  15. 15Série télescopique
    Une série où des termes consécutifs s'annulent : Σ(bₙ - bₙ₊₁)
  16. 16Test du terme général (condition nécessaire de convergence)
    Si lim aₙ ≠ 0, alors Σaₙ diverge ; si lim aₙ = 0, le test ne conclut pas
  17. 17Convergence absolue
    Une série Σaₙ est absolument convergente si Σ|aₙ| converge
  18. 18Convergence conditionnelle
    Une série qui converge mais ne converge pas absolument
  19. 19La série harmonique alternée est-elle absolument ou conditionnellement convergente ?
    Conditionnellement convergente (elle converge, mais Σ1/n diverge)
  20. 20Relation entre convergence absolue et convergence inconditionnelle
    Pour les séries réelles/complexes, convergence absolue si et seulement si convergence inconditionnelle
  21. 21Théorème de réarrangement de Riemann
    Toute série conditionnellement convergente de nombres réels peut être réarrangée pour converger vers n'importe quel réel ou pour diverger
  22. 22Test de comparaison directe
    Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ et Σbₙ converge, alors Σaₙ converge ; si Σaₙ diverge, alors Σbₙ diverge
  23. 23Test de comparaison par limite
    Si lim(aₙ/bₙ) = L > 0, alors Σaₙ et Σbₙ convergent ou divergent toutes les deux
  24. 24Critère de d'Alembert (test du rapport)
    Si lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1, la série converge absolument ; si > 1, elle diverge ; si = 1, on ne peut pas conclure
  25. 25Critère de Cauchy (test de la racine)
    Si lim |aₙ|^(1/n) < 1, la série converge absolument ; si > 1, elle diverge ; si = 1, on ne peut pas conclure
  26. 26Test intégral
    Si f est positive, décroissante et continue sur [1,∞) avec f(n)=aₙ, alors Σaₙ et ∫f(x)dx convergent ou divergent ensemble
  27. 27Test des séries alternées (critère de Leibniz)
    Si aₙ > 0, aₙ est décroissante, et lim aₙ = 0, alors Σ(-1)ⁿaₙ converge
  28. 28Majoration de l'erreur pour une série alternée
    Si le critère des séries alternées s'applique, |S - Sₙ| ≤ aₙ₊₁
  29. 29Test de condensation de Cauchy
    Si aₙ est positive et décroissante, alors Σaₙ et Σ2ᵏa₂ᵏ convergent ou divergent ensemble
  30. 30Test de Dirichlet
    Si aₙ décroît vers 0 et les sommes partielles de bₙ sont bornées, alors Σaₙbₙ converge

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