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Limites et continuité

70 cards · 🇫🇷 Français

Limites, limites à gauche et à droite, continuité et comportement asymptotique.

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Limite en mathématiques

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  1. 1Limite en mathématiques
    La valeur dont une fonction ou une suite se rapproche lorsque l'argument ou l'indice se rapproche d'une certaine valeur
  2. 2lim (x→c) f(x) = L
    La limite de f(x) quand x tend vers c vaut L ; la valeur de f(x) peut être rendue aussi proche que voulu de L en choisissant x suffisamment proche de c
  3. 3Définition (ε, δ) d'une limite
    Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si 0 < |x - c| < δ, alors |f(x) - L| < ε
  4. 4Suite convergente
    Une suite qui admet une limite
  5. 5Suite divergente
    Une suite qui n'admet pas de limite
  6. 6Une suite convergente peut-elle avoir plusieurs limites ?
    Non, une suite convergente n'a qu'une seule limite
  7. 7Une suite « tend vers l'infini »
    Pour tout nombre réel M (borne), il existe un entier N tel que pour tout n > N, aₙ > M
  8. 8Suite oscillante
    Une suite divergente qui ne tend pas vers l'infini (ex. aₙ = (-1)ⁿ)
  9. 9Limite de la suite 0,9, 0,99, 0,999, ...
    1 (cela explique pourquoi 0,999... = 1)
  10. 10Suite bornée
    Une suite qui ne tend pas vers l'infini
  11. 11Convergence simple
    Une suite de fonctions {fₙ} converge simplement vers f si pour tout x, lim(n→∞) fₙ(x) = f(x)
  12. 12Convergence uniforme
    Une suite de fonctions converge uniformément si l'écart maximal entre les fonctions tend vers zéro quand n→∞
  13. 13Quelle propriété la convergence uniforme préserve-t-elle, contrairement à la convergence simple ?
    La continuité (la limite uniforme de fonctions continues est continue)
  14. 14Quelle propriété les fonctions continues possèdent-elles vis-à-vis des limites ?
    Elles préservent les limites : si lim aₙ = L, alors lim f(aₙ) = f(L)
  15. 15Limite à gauche
    La limite de f(x) quand x tend vers c par valeurs inférieures à c, notée lim(x→c⁻) f(x)
  16. 16Limite à droite
    La limite de f(x) quand x tend vers c par valeurs supérieures à c, notée lim(x→c⁺) f(x)
  17. 17Lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)
    2 (bien que f(1) ne soit pas définie, la limite se simplifie en x + 1, qui vaut 2 en x = 1)
  18. 18Lim(x→∞) (2x - 1)/x
    2
  19. 19Une limite « tend vers l'infini »
    Pour tout réel M, il existe δ > 0 tel que si 0 < |x - c| < δ, alors |f(x)| > M
  20. 20Suite de Cauchy
    Une suite telle que pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tous m, n > N, |aₘ - aₙ| < ε
  21. 21Toute suite convergente est-elle une suite de Cauchy ?
    Oui, pour les suites de nombres réels
  22. 22Toute suite de Cauchy est-elle convergente ?
    Pour les nombres réels, oui. Dans un espace métrique quelconque, pas nécessairement
  23. 23Espace métrique complet
    Un espace métrique où toute suite de Cauchy converge
  24. 24L'ensemble des nombres rationnels (ℚ) est-il complet ?
    Non (ex. les approximations décimales de √2 forment une suite de Cauchy dans ℚ mais ne convergent pas dans ℚ)
  25. 25Ensemble limite d'une suite
    L'ensemble de tous les points qui sont limites de sous-suites convergentes
  26. 26Série infinie
    Une expression de la forme Σ(n=1 à ∞) aₙ, définie comme la limite des sommes partielles
  27. 27Somme partielle
    La somme des n premiers termes : sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  28. 28Résultat du problème de Bâle
    Σ(n=1 à ∞) 1/n² = π²/6
  29. 29Convergence inconditionnelle
    Une série qui converge quel que soit l'ordre de ses termes (équivalente à la convergence absolue)
  30. 30Convergence absolue
    Une série Σaₙ est absolument convergente si Σ|aₙ| converge

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