d/dx

Dérivées : règles, techniques et applications

136 cards · 🇫🇷 Français

Règles et techniques de dérivation, ainsi que leurs applications comme l'optimisation et les taux liés.

calculusderivatives

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Dérivée

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  1. 1Dérivée
    Un outil fondamental qui quantifie la sensibilité du résultat d'une fonction à un changement de son entrée ; la pente de la tangente au graphe en un point
  2. 2Que représente la dérivée géométriquement ?
    La pente de la tangente au graphe de la fonction en un point donné
  3. 3Que représente la dérivée physiquement ?
    Le taux de variation instantané ; le rapport entre la variation instantanée de la variable dépendante et celle de la variable indépendante
  4. 4Dérivation
    Le processus consistant à calculer une dérivée
  5. 5Définition d'une dérivée à l'aide des limites
    f'(a) = lim[h→0] (f(a+h) - f(a))/h, à condition que la limite existe
  6. 6Notation de Leibniz pour la dérivée
    dy/dx ou df/dx, représentant la dérivée comme un rapport de différentielles
  7. 7Notation prime pour la dérivée
    f'(x) (qui se lit « f prime de x »), introduite par Lagrange
  8. 8Notation à point de Newton pour les dérivées
    ẋ pour la dérivée première et ẍ pour la dérivée seconde par rapport au temps
  9. 9Notation D pour les dérivées
    Df ou D^n f pour la dérivée n-ième, en utilisant l'opérateur différentiel D
  10. 10Si f est dérivable en un point, est-elle nécessairement continue en ce point ?
    Oui. La dérivabilité implique la continuité
  11. 11Si f est continue en un point, est-elle nécessairement dérivable en ce point ?
    Non. Une fonction continue peut ne pas être dérivable (ex. |x| en x = 0)
  12. 12Dérivée d'une fonction constante
    Zéro. Si f(x) = c, alors f'(x) = 0
  13. 13Règle de dérivation d'une puissance
    Si f(x) = x^n, alors f'(x) = nx^(n-1)
  14. 14Calculer d/dx[x³]
    3x². En appliquant la règle de puissance : on descend l'exposant et on le diminue de 1
  15. 15Calculer d/dx[x⁵]
    5x⁴. En appliquant la règle de puissance
  16. 16Calculer d/dx[1/x]
    -1/x². On réécrit x^(-1), puis on applique la règle de puissance : -1·x^(-2) = -1/x²
  17. 17Calculer d/dx[√x]
    1/(2√x). On réécrit x^(1/2), puis (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
  18. 18Règle du multiple constant
    d/dx[cf(x)] = c·f'(x), où c est une constante
  19. 19Règle de la somme pour les dérivées
    d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x). La dérivée d'une somme est la somme des dérivées
  20. 20Règle de la différence pour les dérivées
    d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
  21. 21Calculer d/dx[3x⁴ + 5x² - 7]
    12x³ + 10x. On applique la règle de la somme et la règle de puissance à chaque terme
  22. 22Règle du produit
    d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). (Premier·dérivée du second + second·dérivée du premier)
  23. 23Calculer d/dx[x²·sin(x)] à l'aide de la règle du produit
    2x·sin(x) + x²·cos(x)
  24. 24Règle du quotient
    d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]², où g(x) ≠ 0
  25. 25Moyen mnémotechnique pour la règle du quotient
    « Bas fois dérivée du haut, moins haut fois dérivée du bas, le tout sur bas au carré » (dénominateur fois dérivée du numérateur moins numérateur fois dérivée du dénominateur, le tout divisé par le dénominateur au carré)
  26. 26Calculer d/dx[x/cos(x)] à l'aide de la règle du quotient
    [cos(x) - x·(-sin(x))]/cos²(x) = [cos(x) + x·sin(x)]/cos²(x)
  27. 27Règle de dérivation en chaîne
    Si y = f(g(x)), alors dy/dx = f'(g(x))·g'(x). La dérivée d'une fonction composée est égale à la dérivée de la fonction externe multipliée par la dérivée de la fonction interne
  28. 28Calculer d/dx[(3x + 2)⁵] à l'aide de la règle de dérivation en chaîne
    5(3x + 2)⁴·3 = 15(3x + 2)⁴
  29. 29Calculer d/dx[sin(x²)]
    cos(x²)·2x = 2x·cos(x²). On applique la règle de dérivation en chaîne
  30. 30Dérivée de sin(x)
    cos(x)

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