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Analyse multivariable

49 cards · 🇫🇷 Français

Dérivées partielles, intégrales multiples et bases du calcul vectoriel.

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Analyse multivariable (calcul à plusieurs variables)

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Cards

  1. 1Analyse multivariable (calcul à plusieurs variables)
    L'extension du calcul différentiel et intégral aux fonctions de plusieurs variables, incluant leur dérivation et leur intégration
  2. 2Autre nom pour l'analyse multivariable
    Calcul multivarié
  3. 3Analyse vectorielle
    Le cas particulier de l'analyse multivariable dans l'espace à trois dimensions
  4. 4Différence clé entre l'espace 1D et les espaces de dimension supérieure pour les limites
    En dimension supérieure, il existe une infinité de façons d'approcher un point (contre seulement deux directions en 1D)
  5. 5Quelle conséquence a la multiplicité des chemins d'approche ?
    Les limites et la continuité doivent être définies avec plus de précaution ; les limites directionnelles peuvent différer
  6. 6Limite le long d'un chemin
    La limite de f(γ(t)) quand t → a, où γ(t) est un chemin paramétré dans un espace à n dimensions
  7. 7La limite le long d'un chemin dépend-elle du chemin choisi ?
    Oui, la valeur de la limite peut dépendre de la forme du chemin, pas seulement du point approché
  8. 8Continuité multivariable
    f est continue en p si lim(t→a) f(γ(t)) = f(p) pour tout chemin continu γ avec γ(a) = p
  9. 9La continuité le long d'un seul chemin suffit-elle pour la continuité multivariable ?
    Non, être continue le long d'un seul chemin n'implique pas la continuité multivariable
  10. 10La continuité selon chaque argument séparément suffit-elle pour la continuité multivariable ?
    Non, une fonction peut être continue en x à y fixé et continue en y à x fixé sans être continue au sens multivariable
  11. 11Dérivée directionnelle
    La dérivée d'une fonction scalaire le long d'un vecteur unitaire v au point p : D_v f(p) = lim(h→0) [f(p + hv) - f(p)]/h
  12. 12La dérivée directionnelle dépend-elle du chemin dans son ensemble ?
    Non, elle ne dépend que du vecteur tangent au chemin en ce point (si f est lipschitzienne)
  13. 13Peut-on définir une dérivée scalaire unique sans préciser de direction ?
    Non, il est impossible de définir une dérivée scalaire unique sans spécifier une direction
  14. 14Dérivée partielle
    Une dérivée par rapport à une variable, toutes les autres étant maintenues constantes
  15. 15Comment peut-on voir une dérivée partielle ?
    Comme la dérivée directionnelle de la fonction le long d'un axe de coordonnées
  16. 16Opérateur nabla (∇)
    Un opérateur utilisé pour définir le gradient, la divergence et le rotationnel à partir des dérivées partielles
  17. 17Matrice jacobienne
    Une matrice de dérivées partielles représentant la dérivée d'une fonction entre espaces de dimension quelconque
  18. 18Comment peut-on comprendre la dérivée en analyse multivariable ?
    Comme une transformation linéaire qui varie d'un point à l'autre du domaine de la fonction
  19. 19Gradient
    Un vecteur regroupant toutes les dérivées partielles : ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ)
  20. 20Divergence
    Le produit scalaire de nabla avec un champ de vecteurs : div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
  21. 21Rotationnel
    Le produit vectoriel de nabla avec un champ de vecteurs : rot F = ∇×F
  22. 22Intégrale multiple
    Une extension de l'intégrale aux fonctions de n'importe quel nombre de variables (ex. intégrales doubles, triples)
  23. 23Théorème de Fubini
    Une intégrale multiple peut être calculée comme une intégrale itérée/répétée si l'intégrande est continu
  24. 24Intégrale de surface
    Une intégrale utilisée pour intégrer sur des surfaces courbes (variétés 2D dans un espace 3D)
  25. 25Intégrale curviligne
    Une intégrale utilisée pour intégrer le long de courbes (variétés 1D)
  26. 26Théorème du gradient
    ∫_C ∇f·dr = f(b) - f(a), reliant les intégrales curvilignes de gradients aux valeurs de la fonction aux extrémités
  27. 27Théorème de Stokes
    ∫∫_S (∇×F)·dS = ∫_C F·dr, reliant les intégrales de surface du rotationnel aux intégrales curvilignes sur le bord
  28. 28Théorème de la divergence
    ∫∫∫_V (∇·F) dV = ∫∫_S F·dS, reliant les intégrales de volume de la divergence aux intégrales de surface (aussi appelé théorème de Gauss)
  29. 29Théorème de Green
    ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫_C P dx + Q dy, une version 2D du théorème de Stokes
  30. 30Théorème de Stokes généralisé
    Un théorème unifié qui s'applique à l'intégration de formes différentielles sur des variétés (englobe les quatre théorèmes intégraux)

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