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Series, Sucesiones y Ecuaciones Diferenciales

111 cards · 🇪🇸 Español

Sucesiones, series, criterios de convergencia y ecuaciones diferenciales básicas.

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Serie matemática

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  1. 1Serie matemática
    Una suma de infinitos términos, uno tras otro
  2. 2Notación de una serie infinita
    Σ(n=1 hasta ∞) aₙ o a₁ + a₂ + a₃ + ...
  3. 3Suma parcial
    La suma de los primeros n términos: Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  4. 4Suma de una serie convergente
    El límite de la sucesión de sumas parciales: Σaₙ = lim(n→∞) Sₙ
  5. 5Error de truncamiento en n
    La diferencia entre la suma de una serie y su n-ésima suma parcial
  6. 6Serie geométrica
    Una serie donde cada término es el término anterior multiplicado por una razón constante r
  7. 7Forma general de una serie geométrica
    Σ(n=0 hasta ∞) arⁿ donde a es el término inicial y r es la razón común
  8. 8Suma de una serie geométrica convergente
    a/(1-r) cuando |r| < 1
  9. 9Fórmula de la suma parcial de una serie geométrica
    Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r) si r ≠ 1, o Sₙ = na si r = 1
  10. 10Serie armónica
    Σ(n=1 hasta ∞) 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
  11. 11¿Converge la serie armónica?
    No, la serie armónica diverge
  12. 12Serie alternada
    Una serie cuyos términos alternan de signo
  13. 13Serie armónica alternada
    Σ(n=1 hasta ∞) (-1)ⁿ⁺¹/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
  14. 14Suma de la serie armónica alternada
    ln(2)
  15. 15Serie telescópica
    Una serie en la que términos consecutivos se cancelan: Σ(bₙ - bₙ₊₁)
  16. 16Criterio del término n-ésimo (condición de anulación)
    Si lim aₙ ≠ 0, entonces Σaₙ diverge; si lim aₙ = 0, el criterio no es concluyente
  17. 17Convergencia absoluta
    Una serie Σaₙ es absolutamente convergente si Σ|aₙ| converge
  18. 18Convergencia condicional
    Una serie que converge pero no converge absolutamente
  19. 19¿La serie armónica alternada es absoluta o condicionalmente convergente?
    Condicionalmente convergente (converge, pero Σ1/n diverge)
  20. 20Relación entre convergencia absoluta e incondicional
    Para series reales/complejas, hay convergencia absoluta si y solo si hay convergencia incondicional
  21. 21Teorema de la serie de Riemann
    Cualquier serie condicionalmente convergente de números reales puede reordenarse para converger a cualquier número real o divergir
  22. 22Criterio de comparación directa
    Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ y Σbₙ converge, entonces Σaₙ converge; si Σaₙ diverge, entonces Σbₙ diverge
  23. 23Criterio de comparación en el límite
    Si lim(aₙ/bₙ) = L > 0, entonces Σaₙ y Σbₙ convergen o divergen ambas
  24. 24Criterio del cociente
    Si lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1, la serie converge absolutamente; si > 1, diverge; si = 1, no es concluyente
  25. 25Criterio de la raíz
    Si lim |aₙ|^(1/n) < 1, la serie converge absolutamente; si > 1, diverge; si = 1, no es concluyente
  26. 26Criterio de la integral
    Si f es positiva, decreciente y continua en [1,∞) con f(n)=aₙ, entonces Σaₙ y ∫f(x)dx convergen o divergen juntas
  27. 27Criterio de la serie alternada (criterio de Leibniz)
    Si aₙ > 0, aₙ es decreciente, y lim aₙ = 0, entonces Σ(-1)ⁿaₙ converge
  28. 28Cota de error para series alternadas
    Si aplica el criterio de la serie alternada, |S - Sₙ| ≤ aₙ₊₁
  29. 29Criterio de condensación de Cauchy
    Si aₙ es no negativa y decreciente, entonces Σaₙ y Σ2ᵏa₂ᵏ convergen o divergen juntas
  30. 30Criterio de Dirichlet
    Si aₙ decrece a 0 y las sumas parciales de bₙ están acotadas, entonces Σaₙbₙ converge

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