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Límites y Continuidad

70 cards · 🇪🇸 Español

Límites, límites laterales, continuidad y comportamiento asintótico.

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Límite en matemáticas

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  1. 1Límite en matemáticas
    El valor al que se aproxima una función o sucesión cuando el argumento o índice se aproxima a algún valor
  2. 2lim (x→c) f(x) = L
    El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L; el valor de f(x) puede acercarse arbitrariamente a L eligiendo x suficientemente cercano a c
  3. 3Definición (ε, δ) de un límite
    Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε
  4. 4Sucesión convergente
    Una sucesión que tiene límite
  5. 5Sucesión divergente
    Una sucesión que no tiene límite
  6. 6¿Puede una sucesión convergente tener más de un límite?
    No, una sucesión convergente tiene un único límite
  7. 7Que una sucesión 'tienda a infinito'
    Para cada número real M (cota), existe un entero N tal que para todo n > N, aₙ > M
  8. 8Sucesión oscilante
    Una sucesión divergente que no tiende a infinito (por ejemplo, aₙ = (-1)ⁿ)
  9. 9Límite de la sucesión 0,9, 0,99, 0,999, ...
    1 (esto explica por qué 0,999... = 1)
  10. 10Sucesión acotada
    Una sucesión que no tiende a infinito
  11. 11Convergencia puntual
    Una sucesión de funciones {fₙ} converge puntualmente a f si para cada x, lim(n→∞) fₙ(x) = f(x)
  12. 12Convergencia uniforme
    Una sucesión de funciones converge uniformemente si la diferencia máxima entre las funciones tiende a cero cuando n→∞
  13. 13¿Qué propiedad conserva la convergencia uniforme que no conserva la convergencia puntual?
    La continuidad (el límite uniforme de funciones continuas es continuo)
  14. 14¿Qué propiedad tienen las funciones continuas respecto a los límites?
    Conservan los límites: si lim aₙ = L, entonces lim f(aₙ) = f(L)
  15. 15Límite lateral por la izquierda
    El límite de f(x) cuando x se aproxima a c por valores menores que c, denotado lim(x→c⁻) f(x)
  16. 16Límite lateral por la derecha
    El límite de f(x) cuando x se aproxima a c por valores mayores que c, denotado lim(x→c⁺) f(x)
  17. 17Lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)
    2 (aunque f(1) no está definida, el límite se simplifica a x + 1, que vale 2 en x = 1)
  18. 18Lim(x→∞) (2x - 1)/x
    2
  19. 19Que un límite tienda a infinito en valor
    Para cualquier M real, existe δ > 0 tal que si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x)| > M
  20. 20Sucesión de Cauchy
    Una sucesión donde para todo ε > 0, existe N tal que para todo m, n > N, |aₘ - aₙ| < ε
  21. 21¿Son todas las sucesiones convergentes sucesiones de Cauchy?
    Sí, para sucesiones de números reales
  22. 22¿Son todas las sucesiones de Cauchy convergentes?
    Para números reales, sí. En espacios métricos generales, no necesariamente
  23. 23Espacio métrico completo
    Un espacio métrico donde toda sucesión de Cauchy es convergente
  24. 24¿Es completo el conjunto de los números racionales (ℚ)?
    No (por ejemplo, las aproximaciones decimales de √2 forman una sucesión de Cauchy en ℚ pero no convergen en ℚ)
  25. 25Conjunto límite de una sucesión
    El conjunto de todos los puntos que son límites de subsucesiones convergentes
  26. 26Serie infinita
    Una expresión de la forma Σ(n=1 hasta ∞) aₙ, definida como el límite de las sumas parciales
  27. 27Suma parcial
    La suma de los primeros n términos: sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  28. 28Resultado del problema de Basilea
    Σ(n=1 hasta ∞) 1/n² = π²/6
  29. 29Convergencia incondicional
    Una serie que converge para todas las ordenaciones de los términos (equivalente a convergencia absoluta)
  30. 30Convergencia absoluta
    Una serie Σaₙ es absolutamente convergente si Σ|aₙ| converge

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