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Cálculo Multivariable

49 cards · 🇪🇸 Español

Derivadas parciales, integrales múltiples y fundamentos de cálculo vectorial.

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Cálculo multivariable

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  1. 1Cálculo multivariable
    La extensión del cálculo a funciones de varias variables, que involucra la derivación e integración de funciones multivariables
  2. 2Otro nombre para el cálculo multivariable
    Cálculo multivariante
  3. 3Cálculo vectorial
    El caso particular del cálculo multivariable en el espacio tridimensional
  4. 4Diferencia clave entre 1D y espacios de mayor dimensión para los límites
    En dimensiones superiores, hay infinitas formas de aproximarse a un punto (frente a solo dos direcciones en 1D)
  5. 5¿Qué consecuencia tiene la existencia de múltiples trayectorias de aproximación?
    Los límites y la continuidad deben definirse con más cuidado; los límites direccionales pueden diferir
  6. 6Límite a lo largo de una trayectoria
    El límite de f(γ(t)) cuando t → a, donde γ(t) es una trayectoria parametrizada en un espacio n-dimensional
  7. 7¿Depende de la trayectoria elegida el límite a lo largo de una trayectoria?
    Sí, el valor del límite puede depender de la forma de la trayectoria, no solo del punto al que se aproxima
  8. 8Continuidad multivariable
    f es continua en p si lim(t→a) f(γ(t)) = f(p) para toda trayectoria continua γ con γ(a) = p
  9. 9¿Es suficiente la continuidad a lo largo de una trayectoria para la continuidad multivariable?
    No, ser continua a lo largo de una trayectoria no implica continuidad multivariable
  10. 10¿Es suficiente la continuidad en cada argumento para la continuidad multivariable?
    No, una función puede ser continua en x para y fijo y continua en y para x fijo sin ser multivariable continua
  11. 11Derivada direccional
    La derivada de una función escalar a lo largo de un vector unitario v en el punto p: D_v f(p) = lim(h→0) [f(p + hv) - f(p)]/h
  12. 12¿Depende la derivada direccional de toda la trayectoria?
    No, depende únicamente del vector tangente de la trayectoria en el punto (si f es Lipschitz-continua)
  13. 13¿Se puede definir una derivada escalar única sin especificar una dirección?
    No, no es posible definir una derivada escalar única sin una dirección
  14. 14Derivada parcial
    Una derivada con respecto a una variable, manteniendo todas las demás constantes
  15. 15¿Cómo se puede interpretar una derivada parcial?
    Como la derivada direccional de la función a lo largo de un eje de coordenadas
  16. 16Operador nabla (∇)
    Un operador usado para definir el gradiente, la divergencia y el rotacional en términos de derivadas parciales
  17. 17Matriz jacobiana
    Una matriz de derivadas parciales que representa la derivada de una función entre espacios de dimensión arbitraria
  18. 18¿Cómo se puede entender la derivada en cálculo multivariable?
    Como una transformación lineal que varía de punto a punto en el dominio de la función
  19. 19Gradiente
    Un vector de todas las derivadas parciales: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ)
  20. 20Divergencia
    El producto escalar de nabla con un campo vectorial: div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
  21. 21Rotacional
    El producto vectorial de nabla con un campo vectorial: rot F = ∇×F
  22. 22Integral múltiple
    Una extensión de la integral a funciones de cualquier número de variables (por ejemplo, integrales dobles, triples)
  23. 23Teorema de Fubini
    Una integral múltiple puede evaluarse como una integral iterada/repetida si el integrando es continuo
  24. 24Integral de superficie
    Una integral usada para integrar sobre superficies curvas (variedades 2D en el espacio 3D)
  25. 25Integral de línea
    Una integral usada para integrar sobre curvas (variedades 1D)
  26. 26Teorema del gradiente
    ∫_C ∇f·dr = f(b) - f(a), que relaciona las integrales de línea de gradientes con los valores de la función en los extremos
  27. 27Teorema de Stokes
    ∫∫_S (∇×F)·dS = ∫_C F·dr, que relaciona las integrales de superficie del rotacional con las integrales de línea alrededor de la frontera
  28. 28Teorema de la divergencia
    ∫∫∫_V (∇·F) dV = ∫∫_S F·dS, que relaciona las integrales de volumen de la divergencia con las integrales de superficie (también llamado teorema de Gauss)
  29. 29Teorema de Green
    ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫_C P dx + Q dy, una versión en 2D del teorema de Stokes
  30. 30Teorema de Stokes generalizado
    Un teorema unificado que se aplica a la integración de formas diferenciales sobre variedades (incluye los cuatro teoremas integrales)

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