d/dx

Derivadas: Reglas, Técnicas y Aplicaciones

136 cards · 🇪🇸 Español

Reglas y técnicas de derivación, junto con aplicaciones como la optimización y las razones relacionadas.

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Derivada

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  1. 1Derivada
    Una herramienta fundamental que cuantifica la sensibilidad al cambio de la salida de una función con respecto a su entrada; la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto
  2. 2¿Qué representa la derivada geométricamente?
    La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado
  3. 3¿Qué representa la derivada físicamente?
    La tasa de cambio instantánea; la razón entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente
  4. 4Diferenciación
    El proceso de hallar una derivada
  5. 5Definición de una derivada mediante límites
    f'(a) = lim[h→0] (f(a+h) - f(a))/h, siempre que el límite exista
  6. 6Notación de Leibniz para la derivada
    dy/dx o df/dx, que representa la derivada como una razón de diferenciales
  7. 7Notación prima para la derivada
    f'(x) (se lee 'f prima de x'), introducida por Lagrange
  8. 8Notación de punto de Newton para derivadas
    ẋ para la primera derivada y ẍ para la segunda derivada con respecto al tiempo
  9. 9Notación D para derivadas
    Df o D^n f para la n-ésima derivada, usando el operador diferencial D
  10. 10Si f es derivable en un punto, ¿debe ser continua ahí?
    Sí. La derivabilidad implica continuidad
  11. 11Si f es continua en un punto, ¿debe ser derivable ahí?
    No. Las funciones continuas pueden no ser derivables (por ejemplo, |x| en x = 0)
  12. 12Derivada de una función constante
    Cero. Si f(x) = c, entonces f'(x) = 0
  13. 13Regla de la potencia para derivadas
    Si f(x) = x^n, entonces f'(x) = nx^(n-1)
  14. 14Halla d/dx[x³]
    3x². Usando la regla de la potencia: bajar el exponente y restar 1
  15. 15Halla d/dx[x⁵]
    5x⁴. Usando la regla de la potencia
  16. 16Halla d/dx[1/x]
    -1/x². Reescribe como x^(-1), luego aplica la regla de la potencia: -1·x^(-2) = -1/x²
  17. 17Halla d/dx[√x]
    1/(2√x). Reescribe como x^(1/2), luego (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
  18. 18Regla del múltiplo constante
    d/dx[cf(x)] = c·f'(x), donde c es una constante
  19. 19Regla de la suma para derivadas
    d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x). La derivada de una suma es la suma de las derivadas
  20. 20Regla de la resta para derivadas
    d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
  21. 21Halla d/dx[3x⁴ + 5x² - 7]
    12x³ + 10x. Aplica la regla de la suma y la regla de la potencia a cada término
  22. 22Regla del producto
    d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). (Primero·derivada del segundo + segundo·derivada del primero)
  23. 23Halla d/dx[x²·sin(x)] usando la regla del producto
    2x·sin(x) + x²·cos(x)
  24. 24Regla del cociente
    d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]², donde g(x) ≠ 0
  25. 25Regla mnemotécnica para la regla del cociente
    'Bajo por derivada de alto, menos alto por derivada de bajo, todo sobre bajo al cuadrado' (denominador por derivada del numerador menos numerador por derivada del denominador, todo sobre el denominador al cuadrado)
  26. 26Halla d/dx[x/cos(x)] usando la regla del cociente
    [cos(x) - x·(-sin(x))]/cos²(x) = [cos(x) + x·sin(x)]/cos²(x)
  27. 27Regla de la cadena
    Si y = f(g(x)), entonces dy/dx = f'(g(x))·g'(x). La derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna
  28. 28Halla d/dx[(3x + 2)⁵] usando la regla de la cadena
    5(3x + 2)⁴·3 = 15(3x + 2)⁴
  29. 29Halla d/dx[sin(x²)]
    cos(x²)·2x = 2x·cos(x²). Aplica la regla de la cadena
  30. 30Derivada de sin(x)
    cos(x)

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