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Koordinatengeometrie

54 cards · 🇩🇪 Deutsch

Punkte, Steigung, Abstand und Geraden in der Koordinatenebene.

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Analytische Geometrie

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  1. 1Analytische Geometrie
    Das Studium der Geometrie mithilfe eines Koordinatensystems, auch Koordinaten- oder kartesische Geometrie genannt
  2. 2Kartesisches Koordinatensystem in 2D
    Ein Koordinatensystem, in dem jeder Punkt eine x-Koordinate (horizontal) und eine y-Koordinate (vertikal) hat, geschrieben als (x, y)
  3. 3Geordnetes Paar
    Ein Koordinatenpaar (x, y), das einen Punkt im 2D-kartesischen Raum darstellt
  4. 4Kartesisches Koordinatensystem in 3D
    Ein System, in dem jeder Punkt durch ein geordnetes Tripel (x, y, z) dargestellt wird
  5. 5Polarkoordinaten
    Ein 2D-Koordinatensystem, in dem jeder Punkt durch (r, θ) dargestellt wird: Abstand vom Ursprung und Winkel zur positiven x-Achse
  6. 6Von Polarkoordinaten (r, θ) → kartesisch (x, y)
    x = r cos θ, y = r sin θ
  7. 7Von kartesisch (x, y) → Polarkoordinaten (r, θ)
    r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)
  8. 8Zylinderkoordinaten
    3D-Koordinaten (z, r, θ): Höhe z, Radius r zur z-Achse, und Winkel θ in der xy-Ebene
  9. 9Kugelkoordinaten
    3D-Koordinaten (ρ, θ, φ): Abstand ρ vom Ursprung, Winkel θ in der xy-Ebene, Winkel φ zur z-Achse
  10. 10Steigungs-Achsenabschnitts-Form einer Geraden
    y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist
  11. 11Steigung einer Geraden
    Das Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Änderung: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
  12. 12y-Achsenabschnitt einer Geraden
    Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet (wo x = 0)
  13. 13x-Achsenabschnitt einer Geraden
    Der Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet (wo y = 0)
  14. 14Allgemeine Form einer linearen Gleichung
    Ax + By + C = 0
  15. 15Punkt-Steigungs-Form einer Geraden
    y - y₁ = m(x - x₁), wobei m die Steigung und (x₁, y₁) ein bekannter Punkt ist
  16. 16Bedingung, dass zwei Geraden parallel sind
    Sie haben gleiche Steigungen (m₁ = m₂) und schneiden sich nie
  17. 17Bedingung, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen
    Ihre Steigungen sind negative Kehrwerte: m₁ × m₂ = −1
  18. 18Abstandsformel in 2D
    d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], hergeleitet aus dem Satz des Pythagoras
  19. 19Abstandsformel in 3D
    d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
  20. 20Mittelpunktsformel in 2D
    M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
  21. 21Mittelpunktsformel in 3D
    M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)
  22. 22Normalform der Kreisgleichung
    (x - h)² + (y - k)² = r², wobei (h, k) der Mittelpunkt und r der Radius ist
  23. 23Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung
    x² + y² = r², wobei r der Radius ist
  24. 24Kegelschnitt
    Eine Kurve, die durch den Schnitt einer Ebene mit einem Doppelkegel entsteht (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel)
  25. 25Vier Arten von Kegelschnitten
    Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel (sowie entartete Fälle)
  26. 26Allgemeine Form einer Kegelschnittgleichung
    Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
  27. 27Diskriminante eines Kegelschnitts
    B² − 4AC, verwendet zur Klassifizierung des Kegelschnitttyps
  28. 28Normalform einer Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung
    x²/a² + y²/b² = 1, wobei a und b die große bzw. kleine Halbachse sind
  29. 29Normalform einer nach oben geöffneten Parabel
    y = ax² bzw. (x - h)² = 4p(y - k), wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist
  30. 30Normalform einer Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung
    x²/a² − y²/b² = 1 (horizontal geöffnet) bzw. y²/a² − x²/b² = 1 (vertikal geöffnet)

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