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Zahlentheorie & Primzahlen

132 cards · 🇩🇪 Deutsch

Teilbarkeit, ggT/kgV, der euklidische Algorithmus und Primzahlen.

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Zahlentheorie

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  1. 1Zahlentheorie
    Ein Teilgebiet der reinen Mathematik, das sich mit der Untersuchung ganzer Zahlen und ihrer Eigenschaften befasst, einschließlich Primzahlen, Teilbarkeit und arithmetischer Funktionen.
  2. 2Teilbarkeit
    Die ganze Zahl a ist durch die von Null verschiedene ganze Zahl b teilbar, wenn a = kb für eine ganze Zahl k gilt. Notation: b | a bedeutet, dass b die Zahl a teilt.
  3. 3Divisionslemma (euklidische Division)
    Für ganze Zahlen a und b (b ≠ 0) existieren eindeutige ganze Zahlen q und r, sodass a = bq + r mit 0 ≤ r < |b|. Dabei ist q der Quotient und r der Rest.
  4. 4Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
    Die größte positive ganze Zahl, die zwei gegebene ganze Zahlen beide teilt. Bezeichnet als ggT(a, b).
  5. 5Zwei ganze Zahlen teilerfremd (zueinander prim)
    Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist: ggT(a, b) = 1.
  6. 6Euklidischer Algorithmus
    Eine effiziente Methode zur Berechnung von ggT(a, b), bei der wiederholt das Divisionslemma angewendet und (a, b) durch (b, r) ersetzt wird, bis der Rest null ist.
  7. 7Erweiterter euklidischer Algorithmus wird verwendet für
    Um ganze Zahlen x und y zu finden, sodass ax + by = ggT(a, b). Damit werden lineare diophantische Gleichungen gelöst.
  8. 8Primzahl
    Eine ganze Zahl größer als 1, deren einzige positive Teiler 1 und sie selbst sind. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  9. 9Zusammengesetzte Zahl
    Eine positive ganze Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist, also Teiler außer 1 und sich selbst besitzt.
  10. 10Nenne Euklids Satz über Primzahlen.
    Es gibt unendlich viele Primzahlen. Euklids Beweis: Gäbe es nur endlich viele, wäre ihr Produkt plus eins durch keine von ihnen teilbar.
  11. 11Fundamentalsatz der Arithmetik
    Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen zerlegen. Auch eindeutige Primfaktorzerlegung genannt.
  12. 12Euklids Lemma
    Wenn eine Primzahl p das Produkt ab teilt, dann teilt p entweder a oder b (oder beide).
  13. 13Sieb des Eratosthenes
    Ein antiker Algorithmus, um alle Primzahlen bis n zu finden, indem beginnend bei 2 iterativ die Vielfachen jeder Primzahl markiert werden.
  14. 14Modulare Arithmetik
    Arithmetik der Reste bei Division durch einen Modul n. Zwei ganze Zahlen a und b sind kongruent modulo n, wenn sie denselben Rest haben: a ≡ b (mod n).
  15. 15a ≡ b (mod n)
    a ist kongruent zu b modulo n, das heißt, n teilt (a - b), oder gleichbedeutend haben a und b bei Division durch n denselben Rest.
  16. 16Restklasse modulo n
    Die Menge aller ganzen Zahlen, die modulo n zu einer gegebenen Zahl kongruent sind. Zum Beispiel [1]₅ = {..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}.
  17. 17Wie viele Restklassen gibt es modulo n?
    Genau n Restklassen: [0], [1], [2], ..., [n-1]. Diese bilden ein vollständiges Repräsentantensystem.
  18. 18Nenne den kleinen Satz von Fermat.
    Wenn p eine Primzahl ist und a nicht durch p teilbar ist, dann gilt a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Gleichbedeutend: a^p ≡ a (mod p) für alle ganzen Zahlen a.
  19. 19Eulersche Phi-Funktion φ(n)
    Die Anzahl der positiven ganzen Zahlen bis n, die zu n teilerfremd sind. Für eine Primzahl p gilt: φ(p) = p - 1.
  20. 20Nenne den Satz von Euler.
    Wenn a und n teilerfremd sind, dann gilt a^φ(n) ≡ 1 (mod n), wobei φ(n) die Eulersche Phi-Funktion ist. Dies verallgemeinert den kleinen Satz von Fermat.
  21. 21Chinesischer Restsatz
    Für paarweise teilerfremde Moduln n₁, n₂, ..., nₖ hat das System x ≡ a₁ (mod n₁), ..., x ≡ aₖ (mod nₖ) eine eindeutige Lösung modulo N = n₁n₂...nₖ.
  22. 22Diophantische Gleichung
    Eine polynomiale Gleichung, für die nur ganzzahlige (oder manchmal rationale) Lösungen gesucht werden. Benannt nach Diophantos von Alexandria.
  23. 23Pythagoreisches Tripel
    Eine Menge von drei positiven ganzen Zahlen (a, b, c), die a² + b² = c² erfüllen, wie (3, 4, 5) oder (5, 12, 13).
  24. 24Vollkommene Zahl
    Eine positive ganze Zahl, die gleich der Summe ihrer echten positiven Teiler ist. Beispiel: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
  25. 25Befreundete Zahlen
    Zwei Zahlen, bei denen jede gleich der Summe der echten Teiler der anderen ist. Beispiel: 220 und 284.
  26. 26Satz von Wilson
    Eine positive ganze Zahl p > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! ≡ -1 (mod p) gilt.
  27. 27Primzahlsatz
    Die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x, π(x), ist für x → ∞ näherungsweise x/ln(x).
  28. 28Riemannsche Zetafunktion
    ζ(s) = Σ(1/n^s) für n von 1 bis ∞, konvergent für Re(s) > 1. Über Eulers Produktformel mit der Verteilung der Primzahlen verbunden.
  29. 29Nenne die Riemannsche Vermutung.
    Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion haben den Realteil 1/2. Seit 1859 ungelöst, mit bedeutenden Konsequenzen für die Verteilung der Primzahlen.
  30. 30Eulers Produktformel für die Zetafunktion
    ζ(s) = ∏(1/(1 - p^(-s))) über alle Primzahlen p, wodurch ein tiefer Zusammenhang zwischen der Zetafunktion und den Primzahlen hergestellt wird.

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