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Théorie des nombres et nombres premiers

132 cards · 🇫🇷 Français

Divisibilité, PGCD/PPCM, l'algorithme d'Euclide et les nombres premiers.

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Théorie des nombres

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  1. 1Théorie des nombres
    Une branche des mathématiques pures consacrée à l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés, notamment les nombres premiers, la divisibilité et les fonctions arithmétiques.
  2. 2Divisibilité
    L'entier a est divisible par l'entier non nul b s'il existe un entier k tel que a = kb. Notation : b | a signifie « b divise a ».
  3. 3Lemme de la division euclidienne
    Pour des entiers a et b (b ≠ 0), il existe des entiers uniques q et r tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|. Ici, q est le quotient et r le reste.
  4. 4Plus grand commun diviseur (PGCD)
    Le plus grand entier positif qui divise à la fois deux entiers donnés. Noté PGCD(a, b).
  5. 5Deux entiers premiers entre eux
    Deux entiers sont premiers entre eux (ou copremiers) si leur plus grand commun diviseur vaut 1 : PGCD(a, b) = 1.
  6. 6Algorithme d'Euclide
    Une méthode efficace pour calculer PGCD(a, b) en appliquant répétitivement le lemme de division et en remplaçant (a, b) par (b, r) jusqu'à ce que le reste soit nul.
  7. 7L'algorithme d'Euclide étendu sert à
    Trouver des entiers x et y tels que ax + by = PGCD(a, b). Cela permet de résoudre les équations diophantiennes linéaires.
  8. 8Nombre premier
    Un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  9. 9Nombre composé
    Un entier positif supérieur à 1 qui n'est pas premier, c'est-à-dire qui possède des diviseurs autres que 1 et lui-même.
  10. 10Énoncer le théorème d'Euclide sur les nombres premiers.
    Il existe une infinité de nombres premiers. Preuve d'Euclide : s'il n'y en avait qu'un nombre fini, leur produit plus un ne serait divisible par aucun d'entre eux.
  11. 11Théorème fondamental de l'arithmétique
    Tout entier supérieur à 1 peut être décomposé de façon unique en produit de nombres premiers (à l'ordre des facteurs près). Aussi appelé décomposition en facteurs premiers unique.
  12. 12Lemme d'Euclide
    Si un nombre premier p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b (ou les deux).
  13. 13Crible d'Ératosthène
    Un algorithme antique permettant de trouver tous les nombres premiers jusqu'à n en marquant itérativement les multiples de chaque nombre premier à partir de 2.
  14. 14Arithmétique modulaire
    Arithmétique des restes après division par un module n. Deux entiers a et b sont congrus modulo n s'ils ont le même reste : a ≡ b (mod n).
  15. 15a ≡ b (mod n)
    a est congru à b modulo n, ce qui signifie que n divise (a - b), ou de façon équivalente que a et b ont le même reste dans la division par n.
  16. 16Classe de résidus modulo n
    L'ensemble de tous les entiers congrus à un entier donné modulo n. Par exemple, [1]₅ = {..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}.
  17. 17Combien y a-t-il de classes de résidus modulo n ?
    Exactement n classes de résidus : [0], [1], [2], ..., [n-1]. Elles forment un système complet de représentants.
  18. 18Énoncer le petit théorème de Fermat.
    Si p est premier et a n'est pas divisible par p, alors a^(p-1) ≡ 1 (mod p). De façon équivalente, a^p ≡ a (mod p) pour tout entier a.
  19. 19Fonction indicatrice d'Euler φ(n)
    Le nombre d'entiers positifs jusqu'à n qui sont premiers avec n. Pour un nombre premier p : φ(p) = p - 1.
  20. 20Énoncer le théorème d'Euler.
    Si a et n sont premiers entre eux, alors a^φ(n) ≡ 1 (mod n), où φ(n) est la fonction indicatrice d'Euler. Ceci généralise le petit théorème de Fermat.
  21. 21Théorème des restes chinois
    Pour des modules premiers entre eux n₁, n₂, ..., nₖ, le système x ≡ a₁ (mod n₁), ..., x ≡ aₖ (mod nₖ) admet une solution unique modulo N = n₁n₂...nₖ.
  22. 22Équation diophantienne
    Une équation polynomiale pour laquelle on ne cherche que des solutions entières (ou parfois rationnelles). Nommée d'après Diophante d'Alexandrie.
  23. 23Triplet pythagoricien
    Un ensemble de trois entiers positifs (a, b, c) vérifiant a² + b² = c², comme (3, 4, 5) ou (5, 12, 13).
  24. 24Nombre parfait
    Un entier positif égal à la somme de ses diviseurs propres. Exemple : 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
  25. 25Nombres amicaux
    Deux nombres tels que chacun est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre. Exemple : 220 et 284.
  26. 26Théorème de Wilson
    Un entier positif p > 1 est premier si et seulement si (p-1)! ≡ -1 (mod p).
  27. 27Théorème des nombres premiers
    Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, π(x), est approximativement égal à x/ln(x) lorsque x → ∞.
  28. 28Fonction zêta de Riemann
    ζ(s) = Σ(1/n^s) pour n allant de 1 à ∞, convergente lorsque Re(s) > 1. Reliée à la distribution des nombres premiers via la formule du produit d'Euler.
  29. 29Énoncer l'hypothèse de Riemann.
    Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont pour partie réelle 1/2. Non résolue depuis 1859, avec des implications majeures pour la distribution des nombres premiers.
  30. 30Formule du produit d'Euler pour la fonction zêta
    ζ(s) = ∏(1/(1 - p^(-s))) sur tous les nombres premiers p, établissant un lien profond entre la fonction zêta et les nombres premiers.

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