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Teoría de números y números primos

132 cards · 🇪🇸 Español

Divisibilidad, MCD/MCM, el algoritmo de Euclides y los números primos.

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Teoría de números

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  1. 1Teoría de números
    Una rama de las matemáticas puras dedicada al estudio de los números enteros y sus propiedades, incluyendo los primos, la divisibilidad y las funciones aritméticas.
  2. 2Divisibilidad
    El entero a es divisible por el entero no nulo b si a = kb para algún entero k. Notación: b | a significa que b divide a a.
  3. 3Lema de la división euclídea
    Para enteros a y b (b ≠ 0), existen enteros únicos q y r tales que a = bq + r, donde 0 ≤ r < |b|. Aquí q es el cociente y r es el resto.
  4. 4Máximo común divisor (mcd)
    El mayor entero positivo que divide a dos enteros dados. Se denota mcd(a, b).
  5. 5Que dos enteros sean coprimos
    Dos enteros son coprimos (o primos entre sí) si su máximo común divisor es 1: mcd(a, b) = 1.
  6. 6Algoritmo de Euclides
    Un método eficiente para calcular mcd(a, b) aplicando repetidamente el lema de la división y reemplazando (a, b) por (b, r) hasta que el resto sea cero.
  7. 7Para qué se usa el algoritmo de Euclides extendido
    Para encontrar enteros x e y tales que ax + by = mcd(a, b). Esto resuelve ecuaciones diofánticas lineales.
  8. 8Número primo
    Un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  9. 9Número compuesto
    Un entero positivo mayor que 1 que no es primo, es decir, que tiene divisores distintos de 1 y de sí mismo.
  10. 10Enuncia el teorema de Euclides sobre los primos.
    Existen infinitos números primos. Prueba de Euclides: si hubiera un número finito de ellos, el producto de todos más uno no sería divisible por ninguno de ellos.
  11. 11Teorema fundamental de la aritmética
    Todo entero mayor que 1 puede factorizarse de forma única como producto de números primos (salvo el orden de los factores). También llamado factorización prima única.
  12. 12Lema de Euclides
    Si un primo p divide al producto ab, entonces p divide a a o p divide a b (o ambos).
  13. 13Criba de Eratóstenes
    Un algoritmo antiguo para hallar todos los primos hasta n marcando iterativamente los múltiplos de cada primo a partir de 2.
  14. 14Aritmética modular
    Aritmética de los restos tras la división por un módulo n. Dos enteros a y b son congruentes módulo n si tienen el mismo resto: a ≡ b (mod n).
  15. 15a ≡ b (mod n)
    a es congruente con b módulo n, es decir, n divide a (a - b), o de forma equivalente, a y b tienen el mismo resto al dividirlos por n.
  16. 16Clase de residuos módulo n
    El conjunto de todos los enteros congruentes con un entero dado módulo n. Por ejemplo, [1]₅ = {..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}.
  17. 17¿Cuántas clases de residuos hay módulo n?
    Exactamente n clases de residuos: [0], [1], [2], ..., [n-1]. Forman un conjunto completo de representantes.
  18. 18Enuncia el pequeño teorema de Fermat.
    Si p es primo y a no es divisible por p, entonces a^(p-1) ≡ 1 (mod p). De forma equivalente, a^p ≡ a (mod p) para todo entero a.
  19. 19Función φ de Euler (indicador de Euler)
    El número de enteros positivos hasta n que son coprimos con n. Para un primo p: φ(p) = p - 1.
  20. 20Enuncia el teorema de Euler.
    Si a y n son coprimos, entonces a^φ(n) ≡ 1 (mod n), donde φ(n) es la función φ de Euler. Esto generaliza el pequeño teorema de Fermat.
  21. 21Teorema chino del resto
    Para módulos coprimos n₁, n₂, ..., nₖ, el sistema x ≡ a₁ (mod n₁), ..., x ≡ aₖ (mod nₖ) tiene una única solución módulo N = n₁n₂...nₖ.
  22. 22Ecuación diofántica
    Una ecuación polinómica en la que solo se buscan soluciones enteras (o a veces racionales). Recibe su nombre de Diofanto de Alejandría.
  23. 23Terna pitagórica
    Un conjunto de tres enteros positivos (a, b, c) que cumplen a² + b² = c², como (3, 4, 5) o (5, 12, 13).
  24. 24Número perfecto
    Un entero positivo igual a la suma de sus divisores propios positivos. Ejemplo: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
  25. 25Números amigos
    Dos números en los que cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Ejemplo: 220 y 284.
  26. 26Teorema de Wilson
    Un entero positivo p > 1 es primo si y solo si (p-1)! ≡ -1 (mod p).
  27. 27Teorema de los números primos
    El número de primos menores o iguales que x, π(x), es aproximadamente x/ln(x) cuando x → ∞.
  28. 28Función zeta de Riemann
    ζ(s) = Σ(1/n^s) para n de 1 a ∞, que converge cuando Re(s) > 1. Conectada con la distribución de los primos mediante la fórmula del producto de Euler.
  29. 29Enuncia la hipótesis de Riemann.
    Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real igual a 1/2. Sin resolver desde 1859, con importantes implicaciones para la distribución de los primos.
  30. 30Fórmula del producto de Euler para la función zeta
    ζ(s) = ∏(1/(1 - p^(-s))) sobre todos los primos p, lo que establece una profunda conexión entre la función zeta y los números primos.

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