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Reihen, Folgen & Differentialgleichungen

111 cards · 🇩🇪 Deutsch

Folgen, Reihen, Konvergenzkriterien und grundlegende Differentialgleichungen.

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Mathematische Reihe

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  1. 1Mathematische Reihe
    Eine Summe von unendlich vielen Termen, einer nach dem anderen
  2. 2Notation für eine unendliche Reihe
    Σ(n=1 bis ∞) aₙ oder a₁ + a₂ + a₃ + …
  3. 3Partialsumme
    Die Summe der ersten n Terme: Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  4. 4Summe einer konvergenten Reihe
    Der Grenzwert der Folge der Partialsummen: Σaₙ = lim(n→∞) Sₙ
  5. 5N-ter Abbruchfehler
    Die Differenz zwischen der Summe einer Reihe und ihrer n-ten Partialsumme
  6. 6Geometrische Reihe
    Eine Reihe, bei der jeder Term das vorherige Glied multipliziert mit einem konstanten Verhältnis r ist
  7. 7Allgemeine Form einer geometrischen Reihe
    Σ(n=0 bis ∞) arⁿ, wobei a der Anfangsterm und r das gemeinsame Verhältnis ist
  8. 8Summe einer konvergenten geometrischen Reihe
    a/(1-r) für |r| < 1
  9. 9Formel für die Partialsumme einer geometrischen Reihe
    Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r) für r ≠ 1, oder Sₙ = na für r = 1
  10. 10Harmonische Reihe
    Σ(n=1 bis ∞) 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
  11. 11Konvergiert die harmonische Reihe?
    Nein, die harmonische Reihe divergiert
  12. 12Alternierende Reihe
    Eine Reihe, deren Terme im Vorzeichen wechseln
  13. 13Alternierende harmonische Reihe
    Σ(n=1 bis ∞) (-1)ⁿ⁺¹/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + …
  14. 14Summe der alternierenden harmonischen Reihe
    ln(2)
  15. 15Teleskopreihe
    Eine Reihe, bei der aufeinanderfolgende Terme sich gegenseitig aufheben: Σ(bₙ - bₙ₊₁)
  16. 16N-tes-Glied-Test (Nullfolgenkriterium)
    Wenn lim aₙ ≠ 0, dann divergiert Σaₙ; wenn lim aₙ = 0, ist das Kriterium nicht entscheidend
  17. 17Absolute Konvergenz
    Eine Reihe Σaₙ ist absolut konvergent, wenn Σ|aₙ| konvergiert
  18. 18Bedingte Konvergenz
    Eine Reihe, die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert
  19. 19Ist die alternierende harmonische Reihe absolut oder bedingt konvergent?
    Bedingt konvergent (sie konvergiert, aber Σ1/n divergiert)
  20. 20Zusammenhang zwischen absoluter und unbedingter Konvergenz
    Bei reellen/komplexen Reihen gilt: absolute Konvergenz genau dann, wenn unbedingte Konvergenz vorliegt
  21. 21Riemannscher Umordnungssatz
    Jede bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen kann so umgeordnet werden, dass sie gegen eine beliebige reelle Zahl konvergiert oder divergiert
  22. 22Direktes Vergleichskriterium
    Wenn 0 ≤ aₙ ≤ bₙ und Σbₙ konvergiert, dann konvergiert Σaₙ; wenn Σaₙ divergiert, dann divergiert Σbₙ
  23. 23Grenzwertvergleichskriterium
    Wenn lim(aₙ/bₙ) = L > 0, dann konvergieren oder divergieren Σaₙ und Σbₙ gemeinsam
  24. 24Quotientenkriterium
    Wenn lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1, konvergiert die Reihe absolut; wenn > 1, divergiert sie; wenn = 1, keine Aussage möglich
  25. 25Wurzelkriterium
    Wenn lim |aₙ|^(1/n) < 1, konvergiert die Reihe absolut; wenn > 1, divergiert sie; wenn = 1, keine Aussage möglich
  26. 26Integralkriterium
    Wenn f auf [1,∞) positiv, fallend und stetig ist mit f(n)=aₙ, dann konvergieren oder divergieren Σaₙ und ∫f(x)dx gemeinsam
  27. 27Leibniz-Kriterium (alternierendes Reihenkriterium)
    Wenn aₙ > 0, aₙ fallend ist und lim aₙ = 0, dann konvergiert Σ(-1)ⁿaₙ
  28. 28Fehlerschranke für alternierende Reihen
    Wenn das Leibniz-Kriterium anwendbar ist, gilt |S - Sₙ| ≤ aₙ₊₁
  29. 29Cauchysches Verdichtungskriterium
    Wenn aₙ nichtnegativ und fallend ist, konvergieren oder divergieren Σaₙ und Σ2ᵏa₂ᵏ gemeinsam
  30. 30Dirichlet-Kriterium
    Wenn aₙ gegen 0 fällt und die Partialsummen von bₙ beschränkt sind, dann konvergiert Σaₙbₙ

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