∫

Integration: Techniken & Anwendungen

136 cards · 🇩🇪 Deutsch

Integrationstechniken und Anwendungen wie die Fläche unter einer Kurve und das Volumen.

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Integral

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  1. 1Integral
    Das kontinuierliche Analogon einer Summe, verwendet zur Berechnung von Flächen, Volumina und deren Verallgemeinerungen; die Umkehroperation der Differentiation
  2. 2Integration
    Der Prozess der Berechnung eines Integrals, eine der beiden grundlegenden Operationen der Analysis (neben der Differentiation)
  3. 3Bestimmtes Integral
    Ein Integral mit festgelegten Grenzen, das die vorzeichenbehaftete Fläche einer Region berechnet, die vom Graphen einer Funktion zwischen zwei Punkten begrenzt wird
  4. 4Unbestimmtes Integral
    Ein Integral ohne Grenzen, das eine Klasse von Stammfunktionen darstellt, deren Ableitung der Integrand ist
  5. 5Stammfunktion
    Eine Funktion F(x), deren Ableitung die gegebene Funktion f(x) ist; das heißt, F'(x) = f(x)
  6. 6das Integralzeichen ∫
    Integration, 1675 von Leibniz eingeführt, abgeleitet vom langen s (ſ), das für 'summa' (Summe) steht
  7. 7Was bedeutet dx in einem Integral?
    Das Differential der Variablen x, das angibt, dass x die Integrationsvariable ist
  8. 8Integrand
    Die Funktion f(x), die in ∫f(x)dx integriert wird
  9. 9Integrationsgrenzen
    Die Punkte a und b in ∫[a bis b] f(x)dx, die das Intervall festlegen, über das integriert wird
  10. 10Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
    Differentiation und Integration sind Umkehroperationen; er liefert eine Methode zur Berechnung bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen
  11. 11Formuliere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Teil 1)
    Wenn F eine Stammfunktion der auf [a,b] stetigen Funktion f ist, dann gilt ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a)
  12. 12Formuliere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Teil 2)
    Wenn F(x) = ∫[a bis x] f(t)dt und f stetig ist, dann gilt F'(x) = f(x)
  13. 13Potenzregel für die Integration
    ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, für n ≠ -1
  14. 14Berechne ∫x³ dx
    x⁴/4 + C
  15. 15Berechne ∫x⁵ dx
    x⁶/6 + C
  16. 16Integral von 1/x
    ∫(1/x)dx = ln|x| + C, für x ≠ 0
  17. 17Warum steht bei unbestimmten Integralen ein +C?
    Weil sich Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden (die Ableitung einer Konstante ist null), weshalb eine beliebige Konstante C addiert wird
  18. 18Faktorregel für Integrale
    ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, wobei k eine Konstante ist
  19. 19Summenregel für Integrale
    ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  20. 20Differenzregel für Integrale
    ∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx
  21. 21Berechne ∫(3x² + 5x - 2)dx
    x³ + (5/2)x² - 2x + C
  22. 22Integral von e^x
    ∫e^x dx = e^x + C
  23. 23Integral von a^x
    ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C, für a > 0, a ≠ 1
  24. 24Integral von sin(x)
    ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
  25. 25Integral von cos(x)
    ∫cos(x)dx = sin(x) + C
  26. 26Integral von sec²(x)
    ∫sec²(x)dx = tan(x) + C
  27. 27Integral von csc²(x)
    ∫csc²(x)dx = -cot(x) + C
  28. 28Integral von sec(x)tan(x)
    ∫sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
  29. 29Integral von csc(x)cot(x)
    ∫csc(x)cot(x)dx = -csc(x) + C
  30. 30Integral von 1/(1 + x²)
    ∫1/(1 + x²)dx = arctan(x) + C

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