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Grenzwerte & Stetigkeit

70 cards · 🇩🇪 Deutsch

Grenzwerte, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit und asymptotisches Verhalten.

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Grenzwert in der Mathematik

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  1. 1Grenzwert in der Mathematik
    Der Wert, dem sich eine Funktion oder Folge nähert, wenn sich das Argument oder der Index einem bestimmten Wert nähert
  2. 2lim (x→c) f(x) = L
    Der Grenzwert von f(x) für x gegen c ist gleich L; der Wert von f(x) kann beliebig nahe an L gebracht werden, indem x hinreichend nahe an c gewählt wird
  3. 3(ε, δ)-Definition eines Grenzwerts
    Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass aus 0 < |x - c| < δ folgt |f(x) - L| < ε
  4. 4Konvergente Folge
    Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt
  5. 5Divergente Folge
    Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt
  6. 6Kann eine konvergente Folge mehr als einen Grenzwert haben?
    Nein, eine konvergente Folge hat nur einen Grenzwert
  7. 7Eine Folge „strebt gegen unendlich“
    Für jede reelle Zahl M (Schranke) gibt es eine ganze Zahl N, sodass für alle n > N gilt aₙ > M
  8. 8Oszillierende Folge
    Eine divergente Folge, die nicht gegen unendlich strebt (z. B. aₙ = (-1)ⁿ)
  9. 9Grenzwert der Folge 0,9, 0,99, 0,999, …
    1 (dies erklärt, warum 0,999… = 1 ist)
  10. 10Beschränkte Folge
    Eine Folge, die nicht gegen unendlich strebt
  11. 11Punktweise Konvergenz
    Eine Funktionenfolge {fₙ} konvergiert punktweise gegen f, wenn für jedes x gilt lim(n→∞) fₙ(x) = f(x)
  12. 12Gleichmäßige Konvergenz
    Eine Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig, wenn die maximale Differenz zwischen den Funktionen für n→∞ gegen null geht
  13. 13Welche Eigenschaft bleibt bei gleichmäßiger, aber nicht bei punktweiser Konvergenz erhalten?
    Stetigkeit (der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist stetig)
  14. 14Welche Eigenschaft haben stetige Funktionen bezüglich Grenzwerten?
    Sie erhalten Grenzwerte: wenn lim aₙ = L, dann lim f(aₙ) = f(L)
  15. 15Linksseitiger Grenzwert
    Der Grenzwert von f(x), wenn x sich c von Werten kleiner als c nähert, bezeichnet mit lim(x→c⁻) f(x)
  16. 16Rechtsseitiger Grenzwert
    Der Grenzwert von f(x), wenn x sich c von Werten größer als c nähert, bezeichnet mit lim(x→c⁺) f(x)
  17. 17Lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)
    2 (obwohl f(1) nicht definiert ist, vereinfacht sich der Grenzwert zu x + 1, was bei x = 1 gleich 2 ist)
  18. 18Lim(x→∞) (2x - 1)/x
    2
  19. 19Ein Grenzwert, dessen Funktionswert gegen unendlich strebt
    Für jedes reelle M gibt es ein δ > 0, sodass aus 0 < |x - c| < δ folgt |f(x)| > M
  20. 20Cauchy-Folge
    Eine Folge, bei der für jedes ε > 0 ein N existiert, sodass für alle m, n > N gilt |aₘ - aₙ| < ε
  21. 21Sind alle konvergenten Folgen Cauchy-Folgen?
    Ja, für Folgen reeller Zahlen
  22. 22Sind alle Cauchy-Folgen konvergent?
    Für reelle Zahlen ja. In allgemeinen metrischen Räumen nicht zwangsläufig
  23. 23Vollständiger metrischer Raum
    Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert
  24. 24Ist die Menge der rationalen Zahlen (ℚ) vollständig?
    Nein (z. B. bilden Dezimalnäherungen von √2 eine Cauchy-Folge in ℚ, die dort aber nicht konvergiert)
  25. 25Grenzwertmenge einer Folge
    Die Menge aller Punkte, die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen sind
  26. 26Unendliche Reihe
    Ein Ausdruck der Form Σ(n=1 bis ∞) aₙ, definiert als Grenzwert der Partialsummen
  27. 27Partialsumme
    Die Summe der ersten n Terme: sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
  28. 28Ergebnis des Basler Problems
    Σ(n=1 bis ∞) 1/n² = π²/6
  29. 29Unbedingte Konvergenz
    Eine Reihe, die bei jeder Anordnung der Terme konvergiert (äquivalent zu absoluter Konvergenz)
  30. 30Absolute Konvergenz
    Eine Reihe Σaₙ ist absolut konvergent, wenn Σ|aₙ| konvergiert

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