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Matemáticas discretas: grafos y estructuras

60 cards · 🇪🇸 Español

Grafos, caminos, árboles y las estructuras discretas que sustentan la informática.

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Matemáticas discretas

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  1. 1Matemáticas discretas
    El estudio de las estructuras matemáticas que son fundamentalmente discretas (valores contables y separados) en lugar de continuas, incluyendo los enteros, los grafos y los enunciados lógicos.
  2. 2¿En qué se diferencian las matemáticas discretas de las matemáticas continuas?
    Las matemáticas discretas tratan con objetos contables y separados (enteros, grafos); las matemáticas continuas tratan con fenómenos suaves y conexos (números reales, cálculo, geometría).
  3. 3¿Por qué son importantes las matemáticas discretas para la informática?
    Los ordenadores operan en pasos discretos y almacenan bits discretos. Las matemáticas discretas proporcionan los fundamentos de los algoritmos, las estructuras de datos, las bases de datos, la criptografía y la teoría de la computación.
  4. 4Grafo en matemáticas discretas
    Una estructura formada por vértices (nodos) conectados mediante aristas (enlaces). Se usa para modelar relaciones, redes y conexiones.
  5. 5Grafo dirigido frente a grafo no dirigido
    No dirigido: las aristas no tienen dirección (relación simétrica). Dirigido (digrafo): las aristas tienen una dirección indicada por flechas (relación asimétrica).
  6. 6Camino en un grafo
    Una secuencia de vértices en la que cada par adyacente está conectado por una arista. Un camino simple visita cada vértice como máximo una vez.
  7. 7Ciclo en un grafo
    Un camino que empieza y termina en el mismo vértice. Un ciclo simple no tiene vértices repetidos salvo el primero y el último.
  8. 8Grafo conexo
    Un grafo en el que existe un camino entre cada par de vértices. Sin componentes aisladas.
  9. 9Árbol en teoría de grafos
    Un grafo no dirigido, conexo y acíclico (sin ciclos). Un árbol con n vértices tiene exactamente n-1 aristas.
  10. 10Árbol de expansión (árbol generador)
    Un subgrafo que incluye todos los vértices del grafo original y que es un árbol (conexo y acíclico). Se usa en el diseño de redes.
  11. 11Enuncia el teorema de los cuatro colores.
    Cualquier mapa puede colorearse usando como máximo cuatro colores de modo que ninguna región adyacente comparta el mismo color. Demostrado en 1976 por Appel y Haken con ayuda de ordenadores.
  12. 12Coloreado de grafos
    Asignar colores a los vértices de modo que dos vértices adyacentes nunca compartan el mismo color. El número cromático es la cantidad mínima de colores necesarios.
  13. 13Grafo completo Kₙ
    Un grafo en el que cada par de vértices distintos está conectado por una arista. Kₙ tiene n vértices y n(n-1)/2 aristas.
  14. 14Grafo bipartito
    Un grafo cuyos vértices pueden dividirse en dos conjuntos disjuntos tales que cada arista conecta un vértice de un conjunto con uno del otro. No hay aristas dentro de un mismo conjunto.
  15. 15Fórmula de Euler para grafos planos
    V - E + F = 2, donde V = vértices, E = aristas, F = caras (regiones). Se aplica a grafos planos conexos.
  16. 16Camino euleriano
    Un camino que recorre cada arista exactamente una vez. Existe si un grafo tiene exactamente 0 o 2 vértices de grado impar.
  17. 17Camino hamiltoniano
    Un camino que visita cada vértice exactamente una vez. Encontrarlo es un problema NP-completo (computacionalmente difícil).
  18. 18Combinatoria
    El estudio de contar, ordenar y combinar objetos discretos. Incluye permutaciones, combinaciones y técnicas de enumeración.
  19. 19Permutación
    Una ordenación de objetos. El número de permutaciones de n objetos es n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1.
  20. 20Combinación
    Una selección de objetos en la que el orden no importa. El número de formas de elegir k objetos de entre n es C(n,k) = n!/(k!(n-k)!).
  21. 21Coeficiente binomial C(n,k)
    El número de formas de elegir k elementos de entre n sin tener en cuenta el orden. También se escribe como (n sobre k) o ₙCₖ.
  22. 22Enuncia el principio del palomar.
    Si n objetos se colocan en m contenedores con n > m, entonces al menos un contenedor debe contener más de un objeto.
  23. 23Principio de inclusión-exclusión
    Para contar elementos en uniones de conjuntos: |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|. Se generaliza a más conjuntos alternando sumas y restas.
  24. 24Función generatriz
    Una serie de potencias formal usada para codificar secuencias de números (como recuentos combinatorios). El coeficiente de xⁿ da el n-ésimo término.
  25. 25Triángulo de Pascal
    Una disposición triangular en la que cada número es la suma de los dos que tiene encima. La fila n contiene los coeficientes binomiales C(n,k) para k=0 hasta n.
  26. 26Relación de recurrencia
    Una ecuación que define una secuencia de forma recursiva en función de términos anteriores. Ejemplo: Fibonacci Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂.
  27. 27Sucesión de Fibonacci
    F₀=0, F₁=1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Sucesión: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Aparece por toda la naturaleza y las matemáticas.
  28. 28Lógica matemática
    El estudio de los sistemas formales de razonamiento, incluyendo la lógica proposicional, la lógica de predicados y las reglas de inferencia.
  29. 29Proposición
    Un enunciado declarativo que es verdadero o falso (pero no ambos). Ejemplo: '5 es primo' (verdadero), '2+2=5' (falso).
  30. 30Conectivos lógicos básicos
    Y (∧), O (∨), NO (¬), IMPLICA (→), SI Y SOLO SI (↔). Se usan para construir proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples.

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