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Grundlagen der Mengenlehre

36 cards · 🇩🇪 Deutsch

Mengen, Teilmengen, Vereinigungen, Schnittmengen und Mengenoperationen.

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Mengenlehre

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  1. 1Mengenlehre
    Der Zweig der mathematischen Logik, der Mengen untersucht, die man informell als Zusammenfassungen von Objekten beschreiben kann
  2. 2Welche Notation zeigt die Zugehörigkeit zu einer Menge an?
    o ∈ A bedeutet, dass das Objekt o ein Element (Mitglied) der Menge A ist
  3. 3Wie wird eine Menge beschrieben?
    Durch Auflistung der durch Kommas getrennten Elemente in geschweiften Klammern { }, oder durch eine charakterisierende Eigenschaft ihrer Elemente
  4. 4Teilmengenrelation
    Wenn alle Elemente der Menge A auch Elemente der Menge B sind, ist A eine Teilmenge von B, bezeichnet mit A ⊆ B
  5. 5Echte Teilmenge
    A ist eine echte Teilmenge von B, wenn A eine Teilmenge von B ist, aber A nicht gleich B ist
  6. 6Ist eine Menge eine Teilmenge von sich selbst?
    Ja, jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst (aber keine echte Teilmenge)
  7. 7Vereinigung zweier Mengen
    A ∪ B ist die Menge aller Objekte, die Element von A oder von B oder von beiden sind
  8. 8Schnittmenge zweier Mengen
    A ∩ B ist die Menge aller Objekte, die Elemente sowohl von A als auch von B sind
  9. 9Vereinigung von {1, 2, 3} und {2, 3, 4}
    {1, 2, 3, 4}
  10. 10Schnittmenge von {1, 2, 3} und {2, 3, 4}
    {2, 3}
  11. 11Mengendifferenz
    U ∖ A ist die Menge aller Elemente von U, die nicht Elemente von A sind
  12. 12Mengendifferenz {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4}
    {1}
  13. 13Komplement einer Menge A im Universum U
    Wenn A eine Teilmenge von U ist, ist das Komplement U ∖ A, manchmal mit Ac bezeichnet
  14. 14Symmetrische Differenz
    A △ B ist die Menge aller Objekte, die Element von genau einer der Mengen A und B sind (in einer, aber nicht in beiden)
  15. 15Symmetrische Differenz von {1, 2, 3} und {2, 3, 4}
    {1, 4}
  16. 16Kartesisches Produkt
    A × B ist die Menge aller möglichen geordneten Paare (a, b), wobei a in A und b in B liegt
  17. 17Kartesisches Produkt von {1, 2} und {rot, weiß}
    {(1, rot), (1, weiß), (2, rot), (2, weiß)}
  18. 18Leere Menge
    Die eindeutige Menge, die keine Elemente enthält, bezeichnet mit { }, ∅ oder ⌀
  19. 19Potenzmenge
    Die Potenzmenge von A, bezeichnet mit P(A), ist die Menge, deren Elemente alle möglichen Teilmengen von A sind
  20. 20Potenzmenge von {1, 2}
    { { }, {1}, {2}, {1, 2} }
  21. 21Cantors bahnbrechende Entdeckung
    Dass die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar ist – man kann nicht alle reellen Zahlen in einer Liste anordnen
  22. 22Satz von Cantor
    Die Mächtigkeit der Potenzmenge von A ist stets echt größer als die Mächtigkeit von A, selbst wenn A unendlich ist
  23. 23Welche Notation verwendete Cantor für Kardinalzahlen?
    Den hebräischen Buchstaben ℵ (Aleph) mit einer natürlichen Zahl als Index
  24. 24Welche Notation verwendete Cantor für Ordinalzahlen?
    Den griechischen Buchstaben ω (Omega)
  25. 25Russellsche Antinomie
    Sei R die Menge aller Mengen, die nicht Element von sich selbst sind. Ist R nicht in sich selbst enthalten, besagt seine Definition, dass es doch enthalten ist; ist R in sich selbst enthalten, ist es das nicht (da R nur Mengen enthält, die nicht in sich selbst enthalten sind)
  26. 26Naive Mengenlehre
    Die nicht formalisierten Systeme der Mengenlehre, wie sie in der frühen Phase vor der Entdeckung der Antinomien untersucht wurden
  27. 27Am weitesten verbreitete axiomatische Mengenlehre
    Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC)
  28. 28Reine Menge
    Eine Menge, deren sämtliche Elemente Mengen sind, deren Elemente wiederum Mengen sind, und so weiter
  29. 29Von-Neumann-Universum
    Das Universum reiner Mengen, organisiert in einer kumulativen Hierarchie danach, wie tief ihre Elemente verschachtelt sind
  30. 30Welcher Rang wird der leeren Menge in der von-Neumann-Hierarchie zugewiesen?
    Rang 0

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