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Bases de la théorie des ensembles

36 cards · 🇫🇷 Français

Ensembles, sous-ensembles, unions, intersections et opérations sur les ensembles.

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Question

Théorie des ensembles

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  1. 1Théorie des ensembles
    La branche de la logique mathématique qui étudie les ensembles, que l'on peut décrire de façon informelle comme des collections d'objets
  2. 2Quelle notation indique l'appartenance à un ensemble ?
    o ∈ A signifie que l'objet o est un membre (ou élément) de l'ensemble A
  3. 3Comment décrit-on un ensemble ?
    En listant ses éléments séparés par des virgules entre accolades { }, ou par une propriété caractérisant ses éléments
  4. 4Relation d'inclusion
    Si tous les éléments de l'ensemble A sont aussi des éléments de l'ensemble B, alors A est inclus dans B, noté A ⊆ B
  5. 5Inclusion stricte
    A est inclus strictement dans B si A est inclus dans B mais A n'est pas égal à B
  6. 6Un ensemble est-il un sous-ensemble de lui-même ?
    Oui, tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même (mais pas un sous-ensemble strict)
  7. 7Union de deux ensembles
    A ∪ B est l'ensemble de tous les objets appartenant à A, ou à B, ou aux deux
  8. 8Intersection de deux ensembles
    A ∩ B est l'ensemble de tous les objets appartenant à la fois à A et à B
  9. 9Union de {1, 2, 3} et {2, 3, 4}
    {1, 2, 3, 4}
  10. 10Intersection de {1, 2, 3} et {2, 3, 4}
    {2, 3}
  11. 11Différence ensembliste
    U ∖ A est l'ensemble de tous les éléments de U qui n'appartiennent pas à A
  12. 12Différence ensembliste {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4}
    {1}
  13. 13Complémentaire d'un ensemble A dans l'univers U
    Lorsque A est un sous-ensemble de U, le complémentaire est U ∖ A, parfois noté Ac
  14. 14Différence symétrique
    A △ B est l'ensemble de tous les objets appartenant à exactement l'un des deux ensembles A ou B (dans l'un, mais pas dans les deux)
  15. 15Différence symétrique de {1, 2, 3} et {2, 3, 4}
    {1, 4}
  16. 16Produit cartésien
    A × B est l'ensemble dont les éléments sont tous les couples ordonnés possibles (a, b), où a appartient à A et b appartient à B
  17. 17Produit cartésien de {1, 2} et {rouge, blanc}
    {(1, rouge), (1, blanc), (2, rouge), (2, blanc)}
  18. 18Ensemble vide
    L'unique ensemble ne contenant aucun élément, noté { }, ∅ ou ⌀
  19. 19Ensemble des parties
    L'ensemble des parties de A, noté P(A), est l'ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles possibles de A
  20. 20Ensemble des parties de {1, 2}
    { { }, {1}, {2}, {1, 2} }
  21. 21La découverte révolutionnaire de Cantor
    Que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable — on ne peut pas mettre tous les nombres réels dans une liste
  22. 22Théorème de Cantor
    Le cardinal de l'ensemble des parties de A est strictement plus grand que le cardinal de A, même quand A est infini
  23. 23Quelle notation Cantor a-t-il utilisée pour les nombres cardinaux ?
    La lettre hébraïque ℵ (aleph) suivie d'un indice qui est un entier naturel
  24. 24Quelle notation Cantor a-t-il utilisée pour les nombres ordinaux ?
    La lettre grecque ω (oméga)
  25. 25Paradoxe de Russell
    Soit R l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. Si R n'appartient pas à lui-même, sa définition dit qu'il devrait y appartenir ; s'il appartient à lui-même, alors ce n'est pas le cas (puisque R ne contient que des ensembles qui ne s'appartiennent pas)
  26. 26Théorie naïve des ensembles
    Les systèmes non formalisés de théorie des ensembles étudiés au tout début, avant la découverte des paradoxes
  27. 27Théorie axiomatique des ensembles la plus étudiée
    La théorie de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC)
  28. 28Ensemble pur
    Un ensemble dont tous les éléments sont des ensembles, dont tous les éléments de ces éléments sont eux aussi des ensembles, et ainsi de suite
  29. 29Univers de von Neumann
    L'univers des ensembles purs organisé en une hiérarchie cumulative fondée sur la profondeur d'imbrication de leurs éléments
  30. 30Quel rang est attribué à l'ensemble vide dans la hiérarchie de von Neumann ?
    Le rang 0

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